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京都大学 2013年理系第5問解説

方針・初手

$C_1$ と $C_2$ が $y$ 軸に関して対称であることと、$\triangle PAB$ が正三角形で対称な位置にあることから、接点 $A, B$ の位置関係と点 $P$ の座標を文字で設定する。
「2つの曲線が接する」条件を「接点 $A$ における $C_1$ の法線が円の中心 $P$ を通る」と言い換え、正三角形の幾何的な傾きと法線の傾きを一致させて接点を確定する。
面積計算は $y$ 軸対称性を活かして $x \geqq 0$ の積分を計算して2倍する。円の積分は三角置換（または扇形・三角形の面積）、対数の積分は部分積分で処理する。

解法1

$f_1(x) = \sqrt{3}\log(1+x)$ とおくと、$C_2$ の方程式は $y = f_1(-x)$ であり、$C_1$ と $C_2$ は $y$ 軸に関して対称である。

$\triangle PAB$ は $y$ 軸対称な正三角形であるから、点 $P$ は $y$ 軸上にあり、接点 $A, B$ は $y$ 軸に関して対称である。

点 $A$ の $x$ 座標を $t > 0$ とすると、

$$ A(t,\, \sqrt{3}\log(1+t)), \quad B(-t,\, \sqrt{3}\log(1+t)) $$

$AB = 2t$ であり、$AB$ の中点を $M(0,\, \sqrt{3}\log(1+t))$ とすると、正三角形の高さから

$$ PM = t\tan 60^\circ = \sqrt{3}t $$

法線の傾きと $PA$ の傾きの一致：

$f_1'(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{1+x}$ より、点 $A$ における $C_1$ の接線の傾きは $\dfrac{\sqrt{3}}{1+t}$、法線の傾きは $-\dfrac{1+t}{\sqrt{3}}$（負）。

法線の傾きが負であるから $P$ は $M$ の上方にあり、$P$ の $y$ 座標は

$$ p = \sqrt{3}\log(1+t) + \sqrt{3}t $$

このとき直線 $PA$ の傾きは

$$ \frac{p - \sqrt{3}\log(1+t)}{0 - t} = \frac{\sqrt{3}t}{-t} = -\sqrt{3} $$

法線の傾きと等しいとおくと、

$$ -\frac{1+t}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \implies 1+t = 3 \implies t = 2 $$

したがって、

$$ A(2,\, \sqrt{3}\log 3), \quad P\!\left(0,\, \sqrt{3}\log 3 + 2\sqrt{3}\right) $$

円 $C$ の半径は $R = PA = \sqrt{(2-0)^2 + (\sqrt{3}\log 3 - p)^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$。

面積計算：

$p = \sqrt{3}\log 3 + 2\sqrt{3}$ とおく。円 $C$ の下半弧は $y = p - \sqrt{16-x^2}$。

$y$ 軸対称性より、

$$ \frac{S}{2} = \int_{0}^{2}\left\{\left(p - \sqrt{16-x^2}\right) - \sqrt{3}\log(1+x)\right\}dx $$

第1項：

$$ \int_{0}^{2} p\,dx = 2p = 2\sqrt{3}\log 3 + 4\sqrt{3} $$

第2項： $x = 4\sin\theta$ と置換（$x:0\to 2$ で $\theta:0\to\dfrac{\pi}{6}$）

$$ \int_{0}^{2}\sqrt{16-x^2}\,dx = 16\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\cos^2\theta\,d\theta = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}(1+\cos 2\theta)\,d\theta $$

$$ = 8\left[\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = 8\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3} $$

（中心角 $\dfrac{\pi}{6}$ の扇形と底辺 $2$・高さ $2\sqrt{3}$ の直角三角形の面積の和としても導出できる。）

第3項： 部分積分を用いる。

$$ \int_{0}^{2}\sqrt{3}\log(1+x)\,dx = \sqrt{3}\left[(1+x)\log(1+x)\right]_{0}^{2} - \sqrt{3}\int_{0}^{2}1\,dx $$

$$ = \sqrt{3}(3\log 3 - 0) - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\log 3 - 2\sqrt{3} $$

まとめ：

$$ \frac{S}{2} = (2\sqrt{3}\log 3 + 4\sqrt{3}) - \left(\frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3}\right) - (3\sqrt{3}\log 3 - 2\sqrt{3}) $$

$$ = 4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\log 3 $$

$$ S = 8\sqrt{3} - \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}\log 3 $$