京都大学 2010年 理系 第3問（乙） 解説

方針・初手

まずは曲線 $y = \sin x$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を定積分で求めます。 条件 $S:T = 3:1$ から面積 $T$ の値が定まるため、次に $T$ を定積分で表します。 曲線 $y = \sin x$ と $y = a \cos x$ の交点の $x$ 座標を直接求めることは難しいため、交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおき、$T$ を $\alpha$ を用いた式で表すのが定石です。その際、交点における関係式 $\sin \alpha = a \cos \alpha$ を活用して計算を進めます。

解法1

まず、面積 $S$ を求める。

$$ S = \int_0^\pi \sin x \, dx = \Big[ -\cos x \Big]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2 $$

条件 $S : T = 3 : 1$ より $3T = S$ であるから、

$$ T = \frac{2}{3} $$

次に、曲線 $y = \sin x\ \left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ と $y = a \cos x\ \left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ の交点について考える。 $\sin x = a \cos x$ について、$\cos x = 0$ となる $x = \dfrac{\pi}{2}$ は $a>0$ より解ではないため、両辺を $\cos x$ で割ると

$$ \tan x = a $$

$a > 0$ であるから、この方程式は $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ の範囲にただ1つの解を持つ。これを $\alpha$ とおく。 すなわち、$\tan \alpha = a\ \left(0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}\right)$ であり、$\sin \alpha = a \cos \alpha$ が成り立つ。

図形 $T$ は、区間 $0 \leqq x \leqq \alpha$ では $y = \sin x$ と $x$ 軸に、区間 $\alpha \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $y = a \cos x$ と $x$ 軸に囲まれた部分であるから、その面積は次のように表される。

$$ T = \int_0^\alpha \sin x \, dx + \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} a \cos x \, dx $$

それぞれを計算すると、

$$ \int_0^\alpha \sin x \, dx = \Big[ -\cos x \Big]_0^\alpha = 1 - \cos \alpha $$

$$ \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} a \cos x \, dx = \Big[ a \sin x \Big]_\alpha^{\frac{\pi}{2}} = a - a \sin \alpha $$

よって、

$$ T = 1 - \cos \alpha + a - a \sin \alpha $$

ここで、$a = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ を用いると、

$$ a - a\sin\alpha = \frac{\sin\alpha - (1-\cos^2\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha - 1}{\cos\alpha} + \cos\alpha $$

したがって、$T$ は以下のように整理される。

$$ T = 1 - \cos \alpha + \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} + \cos \alpha = 1 + \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} $$

$T = \dfrac{2}{3}$ であるから、

$$ 1 + \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} = \frac{2}{3} $$

$$ \frac{\sin \alpha - 1}{\cos \alpha} = -\frac{1}{3} $$

$$ 3(\sin \alpha - 1) = -\cos \alpha $$

$$ \cos \alpha = 3 - 3 \sin \alpha $$

これを三角関数の相互関係 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ に代入する。

$$ \sin^2 \alpha + (3 - 3 \sin \alpha)^2 = 1 $$

$$ \sin^2 \alpha + 9 - 18 \sin \alpha + 9 \sin^2 \alpha = 1 $$

$$ 10 \sin^2 \alpha - 18 \sin \alpha + 8 = 0 $$

$$ 5 \sin^2 \alpha - 9 \sin \alpha + 4 = 0 $$

$$ (5 \sin \alpha - 4)(\sin \alpha - 1) = 0 $$

$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ より $0 < \sin \alpha < 1$ であるから、

$$ \sin \alpha = \frac{4}{5} $$

このとき、

$$ \cos \alpha = 3 - 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5} $$

（これは $\cos \alpha > 0$ を満たす）

求める $a$ の値は、

$$ a = \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{3}{5}} = \frac{4}{3} $$

解説

2つの曲線の交点が具体的な値として求まらない場合の典型的な面積問題です。 交点の $x$ 座標を $\alpha$ とおき、面積を $\alpha$ を用いた式で表すことがポイントです。立式した後は、$\sin \alpha = a \cos \alpha$ や $a = \tan \alpha$ を用いて式から $a$ を消去し、三角関数の相互関係をうまく利用して $\sin \alpha$ や $\cos \alpha$ についての方程式に帰着させることで、すっきりと解き進めることができます。

答え

$$ a = \frac{4}{3} $$