京都大学 2015年 理系 第1問 解説

方針・初手

• 2 つの曲線 $y = \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{8}\right)$ と $y = \sin 2x$ の交点を求め、指定された範囲内で囲まれる領域を特定します。
• その後、その領域における 2 曲線の上下関係を調べ、回転体の体積を求める定積分を立式します。
• 被積分関数は三角関数の 2 乗の差になるため、半角の公式（次数下げ）を用いて積分可能な形に変形して計算を進めます。

解法1

まず、2 曲線の交点の $x$ 座標を求める。$0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ において

$$ \sin 2x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{8}\right) $$

を満たす $x$ を探す。三角関数の等式より、整数 $n$ を用いて以下の 2 つの場合が考えられる。

(i) $2x = x + \dfrac{\pi}{8} + 2n\pi$ のとき

$$ x = \frac{\pi}{8} + 2n\pi $$

$0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ より、適するのは $n = 0$ のときの $x = \dfrac{\pi}{8}$ である。

(ii) $2x = \pi - \left(x + \dfrac{\pi}{8}\right) + 2n\pi$ のとき

$$ 3x = \frac{7\pi}{8} + 2n\pi \implies x = \frac{7\pi}{24} + \frac{2n\pi}{3} $$

$0 \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ より、適するのは $n = 0$ のときの $x = \dfrac{7\pi}{24}$ である。

これらより、交点の $x$ 座標は $x = \dfrac{\pi}{8},\ \dfrac{7\pi}{24}$ となる。

問題の条件「$x = 0$ と $x = \dfrac{\pi}{2}$ は領域を囲む線とは考えない」から、考える領域は $x = \dfrac{\pi}{8}$ から $x = \dfrac{7\pi}{24}$ の区間で囲まれた部分である。

次に、区間 $\dfrac{\pi}{8} \leq x \leq \dfrac{7\pi}{24}$ における上下関係を調べる。$x = \dfrac{\pi}{4}$ を代入して比較すると、

$$ \sin\!\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1, \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8}\right) = \sin\frac{3\pi}{8} < 1 $$

よって、この区間では常に $\sin 2x \geq \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{8}\right) > 0$ が成り立つ。

したがって、求める回転体の体積 $V$ は

$$ V = \pi\int_{\pi/8}^{7\pi/24}\!\left\{\sin^2 2x - \sin^2\!\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right\}dx $$

半角の公式を用いて被積分関数の次数を下げる。

$$ \sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}, \qquad \sin^2\!\left(x + \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 - \cos\!\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)}{2} $$

代入して整理すると、

$$ V = \pi\int_{\pi/8}^{7\pi/24}\frac{\cos\!\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right) - \cos 4x}{2}\,dx $$

$$ = \frac{\pi}{2}\left[\frac{1}{2}\sin\!\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{4}\sin 4x\right]_{\pi/8}^{7\pi/24} $$

$$ = \frac{\pi}{8}\left[2\sin\!\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) - \sin 4x\right]_{\pi/8}^{7\pi/24} $$

各端点の値を計算する。

$x = \dfrac{7\pi}{24}$ のとき：

$$ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{6} \implies \sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} $$

$$ 4x = \frac{7\pi}{6} \implies \sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} $$

$$ \therefore\quad 2 \cdot \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} $$

$x = \dfrac{\pi}{8}$ のとき：

$$ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$

$$ 4x = \frac{\pi}{2} \implies \sin\frac{\pi}{2} = 1 $$

$$ \therefore\quad 2 \cdot 1 - 1 = 1 $$

よって、

$$ V = \frac{\pi}{8}\!\left(\frac{3}{2} - 1\right) = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{16} $$

解説

三角関数のグラフによって囲まれた部分を回転させる、基本的な体積計算の問題です。立式に至るまでの「交点の正確な導出」「領域の特定」「上下関係の確認」という 3 つのステップをミスなく踏めるかがポイントとなります。

積分計算においては、$\sin^2\theta$ の積分で必須となる「半角の公式を用いた次数下げ」を正確に行う必要があります。角度が $\left(x + \dfrac{\pi}{8}\right)$ とやや複雑ですが、慌てずに変形すれば基本通りに処理できます。

答え

$$ V = \frac{\pi}{16} $$