数学3 その他応用 問題 17 解説

方針・初手

指数関数を含む曲線なので、交点では両辺に $e^x$ を掛けて整理する。

また、曲線

$$ y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

は微分すると

$$ y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$

であり、弧長では

$$ \sqrt{1+(y')^2} $$

を計算する。この曲線では

$$ \begin{aligned} 1+\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2 &= \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 \end{aligned} $$

となることが重要である。

解法1

曲線

$$ y=\frac{n}{2}e^{-x} $$

と

$$ y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

の交点を求める。

交点では

$$ \frac{n}{2}e^{-x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

である。両辺を $2e^x$ 倍すると、

$$ n=e^{2x}+1 $$

となる。したがって

$$ e^{2x}=n-1 $$

である。$n>2$ より $n-1>1$ だから、交点の $x$ 座標は正であり、

$$ x_n=\frac{1}{2}\log(n-1) $$

である。

このとき

$$ e^{-x_n}=\frac{1}{\sqrt{n-1}} $$

だから、

$$ y_n=\frac{n}{2}e^{-x_n} =\frac{n}{2\sqrt{n-1}} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} (x_n,y_n) &= \left( \frac{1}{2}\log(n-1), \frac{n}{2\sqrt{n-1}} \right) \end{aligned} $$

である。

次に、曲線

$$ y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

が、2つの曲線

$$ y=\frac{n}{2}e^{-x},\qquad y=\frac{n+1}{2}e^{-x} $$

により切り取られる部分の長さを求める。

先ほどの結果より、

$$ y=\frac{n}{2}e^{-x} $$

との交点の $x$ 座標は

$$ x_n=\frac{1}{2}\log(n-1) $$

であり、

$$ y=\frac{n+1}{2}e^{-x} $$

との交点の $x$ 座標は

$$ x_{n+1}=\frac{1}{2}\log n $$

である。

曲線

$$ y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

について、

$$ y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 1+(y')^2 &= 1+\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2\\ &= \frac{4+(e^x-e^{-x})^2}{4}\\ &= \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}\\ &= \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2. \end{aligned} $$

ここで $x>0$ なので

$$ \frac{e^x+e^{-x}}{2}>0 $$

より、

$$ \begin{aligned} \sqrt{1+(y')^2} &= \frac{e^x+e^{-x}}{2} \end{aligned} $$

である。

したがって、求める長さを $L_n$ とすると、

$$ \begin{aligned} L_n &= \int_{x_n}^{x_{n+1}} \sqrt{1+(y')^2},dx\\ &= \int_{x_n}^{x_{n+1}} \frac{e^x+e^{-x}}{2},dx\\ &= \left[ \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right]*{x_n}^{x*{n+1}}. \end{aligned} $$

ここで

$$ e^{x_n}=\sqrt{n-1},\qquad e^{-x_n}=\frac{1}{\sqrt{n-1}} $$

より、

$$ \begin{aligned} \frac{e^{x_n}-e^{-x_n}}{2} &= \frac{\sqrt{n-1}-\frac{1}{\sqrt{n-1}}}{2} \\ \frac{n-2}{2\sqrt{n-1}} \end{aligned} $$

である。

同様に、

$$ e^{x_{n+1}}=\sqrt{n},\qquad e^{-x_{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}} $$

より、

$$ \begin{aligned} \frac{e^{x_{n+1}}-e^{-x_{n+1}}}{2} &= \frac{\sqrt{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}}{2} \\ \frac{n-1}{2\sqrt{n}} \end{aligned} $$

である。

よって、求める長さは

$$ \begin{aligned} L_n &= \frac{n-1}{2\sqrt{n}} \\ \frac{n-2}{2\sqrt{n-1}} \end{aligned} $$

である。

最後に、交点 $(x_n,y_n)$ における曲線

$$ y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

の接線が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta_n$ とする。

接線の傾きは

$$ \begin{aligned} \tan\theta_n=y'(x_n) &= \frac{e^{x_n}-e^{-x_n}}{2} \end{aligned} $$

である。弧長の計算で見たように、

$$ \begin{aligned} \sqrt{1+\tan^2\theta_n} &= \frac{e^{x_n}+e^{-x_n}}{2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sin\theta_n &= \frac{\tan\theta_n}{\sqrt{1+\tan^2\theta_n}} \\ \frac{e^{x_n}-e^{-x_n}}{e^{x_n}+e^{-x_n}} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ e^{2x_n}=n-1 $$

だから、

$$ \begin{aligned} \sin\theta_n &= \frac{e^{2x_n}-1}{e^{2x_n}+1}\\ &= \frac{(n-1)-1}{(n-1)+1}\\ &= \frac{n-2}{n}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} S_n=\sin^n\theta_n &= \left(\frac{n-2}{n}\right)^n \\ \left(1-\frac{2}{n}\right)^n \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \left(1-\frac{2}{n}\right)^n &= \left\{\left(1-\frac{2}{n}\right)^{-\frac{n}{2}}\right\}^{-2} \end{aligned} $$

と変形する。

$n\to\infty$ のとき、自然対数の底の定義

$$ e=\lim_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^k $$

から

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{2}{n}\right)^{-\frac{n}{2}} &= e \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &= e^{-2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、曲線

$$ y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

の扱いである。この曲線は微分すると

$$ y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$

となり、

$$ 1+(y')^2=y^2 $$

が成り立つ。そのため、弧長積分が非常に簡単になる。

また、接線の角についても、

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} \end{aligned} $$

を使うことで、傾きから直接 $\sin\theta_n$ を求められる。交点条件から $e^{2x_n}=n-1$ が得られるため、最終的に

$$ \sin\theta_n=\frac{n-2}{n} $$

まで簡潔に整理できる。

答え

(1)

$$ \begin{aligned} (x_n,y_n) &= \left( \frac{1}{2}\log(n-1), \frac{n}{2\sqrt{n-1}} \right) \end{aligned} $$

(2)

$$ \begin{aligned} \frac{n-1}{2\sqrt{n}} &= \frac{n-2}{2\sqrt{n-1}} \end{aligned} $$

(3)

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &= e^{-2} \end{aligned} $$