東北大学 2010年 理系 第5問 解説

方針・初手

領域は

$$ 0\le y\le \sin x,\qquad x+y\le t $$

で表されるので、各 $x$ に対する上端は $\sin x$ と $t-x$ のうち小さい方である。

そこで、曲線 $y=\sin x$ と直線 $y=t-x$ の交点の $x$ 座標を $a$ とおくと、

$$ a+\sin a=t $$

を満たす。この $a$ を用いて体積 $V(t)$ を積分表示し、さらに $t$ で微分する。

解法1

$0<t<3$ であり、$x+\sin x$ の導関数は

$$ \frac{d}{dx}(x+\sin x)=1+\cos x $$

である。$0<x<3<\pi$ では $1+\cos x>0$ だから、$x+\sin x$ は単調増加である。したがって

$$ x+\sin x=t $$

を満たす $x$ はただ 1 つ存在する。その値を $a$ とする。

このとき、$0\le x\le a$ では $\sin x\le t-x$、また $a\le x\le t$ では $t-x\le \sin x$ であるから、回転体の体積は

$$ V(t)=\pi\int_0^a \sin^2 x,dx+\pi\int_a^t (t-x)^2,dx $$

となる。

後半の積分は

$$ \int_a^t (t-x)^2,dx=\frac{(t-a)^3}{3} $$

であり、$t-a=\sin a$ だから

$$ V(t)=\pi\left(\int_0^a \sin^2 x,dx+\frac{\sin^3 a}{3}\right) $$

と書ける。

次に $a+\sin a=t$ を $t$ で微分すると

$$ (1+\cos a)\frac{da}{dt}=1 $$

より

$$ \frac{da}{dt}=\frac{1}{1+\cos a} $$

である。

したがって $V(t)$ を $t$ で微分すると、

$$ \frac{dV}{dt} =\pi\left(\sin^2 a+\sin^2 a\cos a\right)\frac{da}{dt} =\pi\sin^2 a $$

となる。

これが $\pi/4$ に等しいので、

$$ \pi\sin^2 a=\frac{\pi}{4} $$

すなわち

$$ \sin^2 a=\frac14 $$

である。

$0<a<t<3$ より $0<a<3$ であり、この範囲で $\sin a=\frac12$ となる候補は

$$ a=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} $$

である。しかし

$$ t=a+\sin a $$

であり、$a=\frac{5\pi}{6}$ のとき

$$ t=\frac{5\pi}{6}+\frac12>3 $$

となって条件 $0<t<3$ に反する。よって

$$ a=\frac{\pi}{6} $$

である。

このとき

$$ t=\frac{\pi}{6}+\frac12 $$

であり、

$$ V(t)=\pi\left(\int_0^{\pi/6}\sin^2 x,dx+\frac{1}{24}\right) $$

となる。

ここで

$$ \int \sin^2 x,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4} $$

より

$$ \int_0^{\pi/6}\sin^2 x,dx =\frac{\pi}{12}-\frac{\sin(\pi/3)}{4} =\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8} $$

である。したがって

$$ V(t)=\pi\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{1}{24}\right) =\frac{\pi}{24}\left(2\pi-3\sqrt3+1\right) $$

を得る。

解説

この問題の要点は、領域の上端が $\sin x$ と $t-x$ の小さい方になることを正確に捉えることである。

交点 $a$ を $a+\sin a=t$ で定めると積分区間が自然に分かれ、さらに微分すると $a$ の複雑な変化がうまく消えて

$$ \frac{dV}{dt}=\pi\sin^2 a $$

という簡潔な形になる。ここで $a$ の候補を出したあと、条件 $0<t<3$ で不要な解を除くことが重要である。

答え

$$ V(t)=\frac{\pi}{24}\left(2\pi-3\sqrt3+1\right) $$

である。