京都大学 2004年 理系 第2問 解説

方針・初手

求める面積は、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸より上側となる区間、すなわち $f(x) \geqq 0$ となる $x$ の範囲での定積分となる。関数 $f(x)$ は因数分解された形で与えられているため、各因数の符号の変化を調べることで $f(x) \geqq 0$ となる区間を特定する。積分計算においては、被積分関数に $\dfrac{\log x}{x}$（つまり $\log x \cdot (\log x)'$）が含まれていることに着目し、$t = \log x$ と置換積分を行うと計算が見通しやすくなる。

解法1

$x > 0$ における関数 $f(x)$ の符号について調べる。$f(x) = 0$ となる $x$ の値は各因数が $0$ になる値であるから、

$$ \frac{e}{x^a} - 1 = 0 \iff x^a = e \iff x = e^{\frac{1}{a}} $$

および

$$ \log x = 0 \iff x = 1 $$

である。条件より $a > 0$ であるため、$\dfrac{1}{a} > 0$ であり、$e^{\frac{1}{a}} > e^0 = 1$ が成り立つ。

したがって、区間ごとの各因数の符号を調べると次のようになる。

• $0 < x < 1$ のとき：$\dfrac{e}{x^a} - 1 > e - 1 > 0$ かつ $\log x < 0$ より、$f(x) < 0$
• $1 < x < e^{\frac{1}{a}}$ のとき：$\dfrac{e}{x^a} - 1 > 0$ かつ $\log x > 0$ より、$f(x) > 0$
• $x > e^{\frac{1}{a}}$ のとき：$\dfrac{e}{x^a} - 1 < 0$ かつ $\log x > 0$ より、$f(x) < 0$

よって、$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸より上側にある $x$ の範囲は $1 \leqq x \leqq e^{\frac{1}{a}}$ であり、求める面積を $S$ とすると

$$ S = \int_{1}^{e^{\frac{1}{a}}} \left( \frac{e}{x^a} - 1 \right) \frac{\log x}{x} dx $$

となる。この定積分を計算するため、$t = \log x$ とおく。$dt = \dfrac{1}{x} dx$ であり、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccc} x & 1 & \to & e^{\frac{1}{a}} \\ \hline t & 0 & \to & \frac{1}{a} \end{array}$$

また、$x^a = (e^t)^a = e^{at}$ であるから、置換積分を実行すると

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{\frac{1}{a}} \left( \frac{e}{e^{at}} - 1 \right) t \, dt \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{a}} (e \cdot t e^{-at} - t) \, dt \end{aligned}$$

となる。ここで、第1項に対して部分積分法を用いる。

$$\begin{aligned} S &= e \int_{0}^{\frac{1}{a}} t e^{-at} \, dt - \int_{0}^{\frac{1}{a}} t \, dt \\ &= e \left[ t \left( \frac{e^{-at}}{-a} \right) \right]_{0}^{\frac{1}{a}} - e \int_{0}^{\frac{1}{a}} \frac{e^{-at}}{-a} \, dt - \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\frac{1}{a}} \\ &= e \left( \frac{1}{a} \cdot \frac{e^{-1}}{-a} \right) + \frac{e}{a} \int_{0}^{\frac{1}{a}} e^{-at} \, dt - \frac{1}{2a^2} \\ &= -\frac{1}{a^2} + \frac{e}{a} \left[ \frac{e^{-at}}{-a} \right]_{0}^{\frac{1}{a}} - \frac{1}{2a^2} \\ &= -\frac{1}{a^2} - \frac{e}{a^2} \left( e^{-1} - 1 \right) - \frac{1}{2a^2} \\ &= -\frac{1}{a^2} - \frac{1}{a^2} + \frac{e}{a^2} - \frac{1}{2a^2} \\ &= \frac{e - 2}{a^2} - \frac{1}{2a^2} \\ &= \frac{2e - 5}{2a^2} \end{aligned}$$

解説

面積を求める大前提として、関数の上下関係（グラフが $x$ 軸の上下どちらにあるか）を正しく把握することが求められる。本問のように関数が積の形で与えられている場合は、単に因数ごとの正負の境界を調べるだけで十分である。

また、積分計算においては $\dfrac{\log x}{x}$ という塊を見つけた時点で $t = \log x$ の置換積分を想起したい。これにより、対数関数を含む複雑な積分が、典型的な「多項式 $\times$ 指数関数」の部分積分に帰着できる。

答え

$$ \frac{2e - 5}{2a^2} $$