数学3 その他応用 問題 24 解説

方針・初手

（1） は対数関数の微分法をそのまま用いればよい。内側の関数 $x+\sqrt{1+x^2}$ を微分し、式を整理すると簡単な形になる。

（2） は極方程式のまま弧長公式

$$ L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2},d\theta $$

を用いてもよいし、

$$ x=\theta\cos\theta,\qquad y=\theta\sin\theta $$

と媒介変数表示して弧長を求めてもよい。ここでは後者で計算する。

解法1

(1)

$$ f(x)=\log\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) $$

より、対数の微分公式から

$$ f'(x)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) $$

である。

ここで分子をまとめると

$$ 1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} =\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} $$

となるから、

$$ f'(x) =\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}} =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$

したがって、

$$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$

である。

(2)

極方程式 $r=\theta\ (\theta\geqq 0)$ より、

$$ x=r\cos\theta=\theta\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta=\theta\sin\theta $$

と表せる。

よって

$$ \frac{dx}{d\theta}=\cos\theta-\theta\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=\sin\theta+\theta\cos\theta $$

であるから、弧長 $L$ は

$$ L=\int_0^\pi \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2},d\theta $$

となる。

被積分関数の中を整理すると、

$$ \begin{aligned} \left(\cos\theta-\theta\sin\theta\right)^2 +\left(\sin\theta+\theta\cos\theta\right)^2 &=\cos^2\theta-2\theta\sin\theta\cos\theta+\theta^2\sin^2\theta \\ &\quad +\sin^2\theta+2\theta\sin\theta\cos\theta+\theta^2\cos^2\theta \\ &=\sin^2\theta+\cos^2\theta+\theta^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) \\ &=1+\theta^2 \end{aligned} $$

したがって

$$ L=\int_0^\pi \sqrt{1+\theta^2},d\theta $$

となる。

ここで、よく知られた積分公式

$$ \int \sqrt{1+\theta^2},d\theta =\frac{1}{2}\left(\theta\sqrt{1+\theta^2}+\log\left(\theta+\sqrt{1+\theta^2}\right)\right) $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} L &=\left[ \frac{1}{2}\left(\theta\sqrt{1+\theta^2} +\log\left(\theta+\sqrt{1+\theta^2}\right)\right) \right]_0^\pi \\ &=\frac{1}{2}\left(\pi\sqrt{1+\pi^2} +\log\left(\pi+\sqrt{1+\pi^2}\right)\right) \end{aligned} $$

となる。$\theta=0$ のときは $\log(0+\sqrt{1})=\log 1=0$ であることを用いた。

解法2

（2） は極座標の弧長公式を直接使ってもよい。

$r=\theta$ だから

$$ \frac{dr}{d\theta}=1 $$

であり、弧長 $L$ は

$$ L=\int_0^\pi \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2},d\theta =\int_0^\pi \sqrt{\theta^2+1},d\theta $$

となる。あとは解法1と同じ計算により、

$$ L=\frac{1}{2}\left(\pi\sqrt{1+\pi^2} +\log\left(\pi+\sqrt{1+\pi^2}\right)\right) $$

を得る。

解説

（1） では、対数の微分をしたあとに分子 $\sqrt{1+x^2}+x$ と分母 $x+\sqrt{1+x^2}$ が一致して消えることに気づけるかが要点である。見た目よりかなり簡単になる。

（2） では、極方程式の弧長は $r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2$ の形になることが典型である。媒介変数表示に直しても同じ式が出るので、どちらの立場でも処理できるようにしておきたい。また、 $\int\sqrt{1+\theta^2},d\theta$ の公式は頻出である。

答え

(1)

$$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$

(2)

$$ \frac{1}{2}\left(\pi\sqrt{1+\pi^2}+\log\left(\pi+\sqrt{1+\pi^2}\right)\right) $$