数学3 体積 問題 20 解説

方針・初手

放物線 $C_1:y=ax^2$ を円 $C_2:x^2+(y-1)^2=r^2$ に代入し，共通点の条件を $x^2$ の方程式に直す。

この問題では，放物線も円も $y$ 軸対称であるから，2点で接するなら接点は $y$ 軸に関して対称な2点になる。したがって，$x^2$ についての方程式が正の重解をもつことを使えばよい。

体積は，$x\geqq0$ の部分を $y$ 軸のまわりに回転するので，$y$ で積分する方法が最も簡潔である。

解法1

（1） 円の式に $y=ax^2$ を代入すると，

$$ x^2+(ax^2-1)^2=r^2 $$

より，

$$ a^2x^4+(1-2a)x^2+1-r^2=0 $$

を得る。ここで $t=x^2\ (t\geqq0)$ とおくと，

$$ a^2t^2+(1-2a)t+1-r^2=0 $$

となる。

$C_1$ と $C_2$ が2点で接するとは，$x=\pm\sqrt{t}$ に対応する1つの正の値 $t$ で重解をもつことに等しい。したがって判別式を $0$ とおけば，

$$ (1-2a)^2-4a^2(1-r^2)=0 $$

すなわち，

$$ 1-4a+4a^2r^2=0 $$

であるから，

$$ r^2=\frac{4a-1}{4a^2} $$

となる。よって，

$$ r=\frac{\sqrt{4a-1}}{2a} $$

である。

さらに，このときの重解は

$$ t=\frac{-(1-2a)}{2a^2}=\frac{2a-1}{2a^2} $$

である。2点で接するためには $t>0$ が必要なので，

$$ a>\frac12 $$

である。

（2） 接点では

$$ x^2=t=\frac{2a-1}{2a^2} $$

であるから，

$$ x=\pm\frac{\sqrt{2a-1}}{\sqrt2\,a} $$

となる。また，

$$ y=ax^2=a\cdot \frac{2a-1}{2a^2}=\frac{2a-1}{2a} $$

である。

よって，$x$ 座標が正である点を $Q$ とすると，

$$ P\left(-\frac{\sqrt{2a-1}}{\sqrt2\,a},\ \frac{2a-1}{2a}\right),\qquad Q\left(\frac{\sqrt{2a-1}}{\sqrt2\,a},\ \frac{2a-1}{2a}\right) $$

である。

(3)

$P,Q$ の $y$ 座標は等しいので，線分 $PQ$ は水平であり，その方程式は

$$ y=\frac{2a-1}{2a} $$

である。

$x\geqq0$ において，放物線 $C_1$，$y$ 軸，線分 $PQ$ で囲まれた図形を考える。$y$ を用いて見ると，

$$ 0\leqq y\leqq \frac{2a-1}{2a} $$

の各高さで，回転断面は半径

$$ x=\sqrt{\frac{y}{a}} $$

の円になる。

したがって体積 $V$ は，

$$ V=\pi\int_0^{\frac{2a-1}{2a}}\left(\sqrt{\frac{y}{a}}\right)^2dy =\pi\int_0^{\frac{2a-1}{2a}}\frac{y}{a},dy $$

であり，

$$ V=\frac{\pi}{a}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{\frac{2a-1}{2a}} =\frac{\pi}{2a}\left(\frac{2a-1}{2a}\right)^2 $$

よって，

$$ V=\frac{\pi(2a-1)^2}{8a^3} $$

である。

(4)

$$ V(a)=\frac{\pi}{8}\cdot \frac{(2a-1)^2}{a^3}\qquad \left(a>\frac12\right) $$

とおく。微分すると，

$$ V'(a)=\frac{\pi}{8}\cdot \frac{(2a-1)(3-2a)}{a^4} $$

となる。

$a>\dfrac12$ において，$a^4>0$ であるから，$V'(a)$ の符号は $(2a-1)(3-2a)$ の符号で決まる。よって，

• $\dfrac12<a<\dfrac32$ で $V'(a)>0$
• $a>\dfrac32$ で $V'(a)<0$

である。したがって $V$ は

$$ a=\frac32 $$

のとき最大となる。

そのとき，

$$ V=\frac{\pi(2\cdot \frac32-1)^2}{8\left(\frac32\right)^3} =\frac{\pi\cdot 4}{8\cdot \frac{27}{8}} =\frac{4\pi}{27} $$

である。

解説

この問題の要点は，「2点で接する」という条件を，$x^2$ の方程式が正の重解をもつことに読み替えることである。放物線も円も $y$ 軸対称なので，接点は自動的に左右対称な2点になる。

また，（3） の体積計算では，$x$ を $y$ の関数として

$$ x=\sqrt{\frac{y}{a}} $$

と見れば，断面積がそのまま

$$ \pi x^2=\pi\frac{y}{a} $$

となるので計算が非常に簡単になる。

答え

(1)

$$ r=\frac{\sqrt{4a-1}}{2a} $$

ただし，2点で接するためには

$$ a>\frac12 $$

である。

(2)

$$ P\left(-\frac{\sqrt{2a-1}}{\sqrt2\,a},\ \frac{2a-1}{2a}\right),\qquad Q\left(\frac{\sqrt{2a-1}}{\sqrt2\,a},\ \frac{2a-1}{2a}\right) $$

(3)

$$ V=\frac{\pi(2a-1)^2}{8a^3} $$

(4)

$$ a=\frac32 $$

のとき $V$ は最大となり，その最大値は

$$ V=\frac{4\pi}{27} $$

である。