数学3 体積 問題 28 解説

方針・初手

円柱の高さをそのまま扱うより，中心から上下面までの距離を $x$ とおくと，球の中心を通る断面で直角三角形ができるので，円柱の底面半径と $x$ の間に関係式が立つ。

その関係を用いて体積を $x$ の式で表し，最大値を求めればよい。

解法1

円柱の底面半径を $r$，高さを $2x$ とする。

球の中心を通り，円柱の軸を含む平面で切ると，半径 $a$ の円に内接する縦 $2x$，横 $2r$ の長方形ができる。したがって，その長方形の半対角線の長さは $a$ であるから，

$$ r^2+x^2=a^2 $$

が成り立つ。

よって，

$$ r^2=a^2-x^2 $$

である。

円柱の体積 $V$ は

$$ V=\pi r^2\cdot 2x $$

であるから，

$$ V=2\pi (a^2-x^2)x =2\pi(a^2x-x^3) \qquad (0<x<a) $$

となる。

これを $x$ について最大にすればよい。微分すると，

$$ V'(x)=2\pi(a^2-3x^2) $$

であるから，

$$ V'(x)=0 \iff a^2-3x^2=0 \iff x=\frac{a}{\sqrt{3}} $$

を得る。

さらに，

$$ V''(x)=2\pi(-6x)=-12\pi x $$

であり，$x>0$ で常に負だから，$x=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$ のとき $V$ は最大となる。

このとき

$$ r^2=a^2-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 =a^2-\frac{a^2}{3} =\frac{2a^2}{3} $$

であるから，最大体積は

$$ V_{\max} =\pi\cdot \frac{2a^2}{3}\cdot 2\cdot \frac{a}{\sqrt{3}} =\frac{4\pi a^3}{3\sqrt{3}} $$

となる。

解説

球に内接する円柱では，軸を含む断面を見ると「円に内接する長方形」の問題に帰着する。したがって，底面半径 $r$ と高さの半分 $x$ に対して

$$ r^2+x^2=a^2 $$

を立てるのが基本方針である。

その後は体積を1変数関数に直して最大値を調べればよい。立体の最大値問題であっても，断面図を使って変数を減らすのが典型的な処理である。

答え

円柱の体積の最大値は

$$ \frac{4\pi a^3}{3\sqrt{3}} $$

である。