数学3 体積 問題 59 解説

方針・初手

まず $y=1$ と $y=f(x)$ の交点を求める。すると囲まれる部分の $x$ の範囲が確定する。

そのうえで、（1） は微分して接線の傾きを求め、（2） は上側の曲線と下側の直線の差を積分する。（3） はその図形を $x$ 軸のまわりに回転させるので、断面が円環になることから円環の面積を積分すればよい。なお $f(x)$ は偶関数であるから、（2）、（3） では対称性を使うと計算が整理しやすい。

解法1

$f(x)=\dfrac{4}{3+4x^2}$ とする。

（1） 接線の方程式

まず $y=1$ と $y=f(x)$ の交点を求める。

$$ \frac{4}{3+4x^2}=1 $$

より、

$$ 4=3+4x^2 $$

したがって、

$$ x^2=\frac14 $$

となるので、交点の $x$ 座標は $x=\pm \dfrac12$ である。 $x$ 座標が正であるものを $P$ とするから、

$$ P\left(\frac12,1\right) $$

である。

次に接線の傾きを求めるために微分する。

$$ f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3+4x^2}\right) =-\frac{32x}{(3+4x^2)^2} $$

よって、

$$ f'\left(\frac12\right) =-\frac{32\cdot \frac12}{(3+4\cdot \frac14)^2} =-\frac{16}{4^2} =-1 $$

したがって、点 $P\left(\dfrac12,1\right)$ における接線は

$$ y-1=-1\left(x-\frac12\right) $$

すなわち

$$ y=-x+\frac32 $$

である。

（2） 囲まれた図形の面積

$y=1$ と $y=f(x)$ は $x=\pm \dfrac12$ で交わり、その間では

$$ f(x)-1=\frac{4}{3+4x^2}-1=\frac{1-4x^2}{3+4x^2}\ge 0 $$

である。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1/2}^{1/2}\left(\frac{4}{3+4x^2}-1\right),dx $$

となる。

ここで

$$ \int \frac{4}{3+4x^2},dx =\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2x}{\sqrt3}+C $$

であるから、

$$ S=\left[\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{2x}{\sqrt3}-x\right]_{-1/2}^{1/2} $$

となる。これを計算すると、

$$ S =2\left(\frac{2}{\sqrt3}\arctan\frac{1}{\sqrt3}-\frac12\right) $$

ここで

$$ \arctan\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6} $$

より、

$$ S=2\left(\frac{2}{\sqrt3}\cdot \frac{\pi}{6}-\frac12\right) =\frac{2\pi}{3\sqrt3}-1 $$

である。

（3） 回転体の体積

囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転させると、$-\dfrac12\le x\le \dfrac12$ における断面は、外半径が $f(x)$、内半径が $1$ の円環になる。

したがって、体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_{-1/2}^{1/2}\left\{\left(\frac{4}{3+4x^2}\right)^2-1^2\right\},dx $$

である。すなわち、

$$ V=\pi\int_{-1/2}^{1/2}\left(\frac{16}{(3+4x^2)^2}-1\right),dx $$

となる。

ここで偶関数であることを用いて

$$ V=2\pi\int_0^{1/2}\left(\frac{16}{(3+4x^2)^2}-1\right),dx $$

とする。

$\dfrac{16}{(3+4x^2)^2}$ の積分を求めるために

$$ u=\frac{2x}{\sqrt3} $$

とおくと、

$$ dx=\frac{\sqrt3}{2},du,\qquad 3+4x^2=3(1+u^2) $$

であるから、

$$ \int \frac{16}{(3+4x^2)^2},dx =\frac{8\sqrt3}{9}\int \frac{1}{(1+u^2)^2},du $$

となる。さらに

$$ \int \frac{1}{(1+u^2)^2},du =\frac12\left(\arctan u+\frac{u}{1+u^2}\right)+C $$

であるから、

$$ \int \frac{16}{(3+4x^2)^2},dx =\frac{4\sqrt3}{9}\left(\arctan u+\frac{u}{1+u^2}\right)+C $$

すなわち

$$ \int \frac{16}{(3+4x^2)^2},dx =\frac{4\sqrt3}{9}\left(\arctan\frac{2x}{\sqrt3} +\frac{\frac{2x}{\sqrt3}}{1+\frac{4x^2}{3}}\right)+C $$

である。

よって

$$ \int_0^{1/2}\frac{16}{(3+4x^2)^2},dx =\frac{4\sqrt3}{9}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac13}\right) =\frac{4\sqrt3}{9}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right) =\frac{2\sqrt3\pi}{27}+\frac13 $$

したがって、

$$ V=2\pi\left\{\left(\frac{2\sqrt3\pi}{27}+\frac13\right)-\frac12\right\} $$

となり、

$$ V=2\pi\left(\frac{2\sqrt3\pi}{27}-\frac16\right) =\frac{4\sqrt3\pi^2}{27}-\frac{\pi}{3} $$

である。

解説

この問題では、まず交点を求めて区間を確定することが出発点である。交点が $x=\pm \dfrac12$ と分かれば、以後の面積・体積はいずれもその区間での積分に帰着する。

また $f(x)=\dfrac{4}{3+4x^2}$ は偶関数であるため、左右対称性を使うと計算が半分で済む。特に （3） では、$x$ 軸まわりの回転でできる断面が「半径 $f(x)$ の円」から「半径 $1$ の円」を除いた円環になることを正確に捉えるのが重要である。

答え

(1)

点 $P$ は

$$ P\left(\frac12,1\right) $$

であり、接線の方程式は

$$ y=-x+\frac32 $$

である。

(2)

面積は

$$ \frac{2\pi}{3\sqrt3}-1 $$

である。

(3)

回転体の体積は

$$ \frac{4\sqrt3\pi^2}{27}-\frac{\pi}{3} $$

である。