数学3 体積 問題 62 解説

方針・初手

2曲線の交点は，$x=y^2$ を $y=ax^2$ に代入して求めるのが最も素直である。

また，$x=y^2$ は第1象限では $y=\sqrt{x}$ とみなせるので，囲まれた部分 $D$ は第1象限にある。したがって，$x$ 軸まわりの回転では $x$ で積分し，$y$ 軸まわりの回転では $y$ で積分すると計算しやすい。

解法1

（1） 交点を求める。

曲線 $C_1,\ C_2$ の交点では

$$ y=ax^2,\qquad x=y^2 $$

が同時に成り立つ。そこで $x=y^2$ を $y=ax^2$ に代入すると，

$$ y=a(y^2)^2=ay^4 $$

となる。よって

$$ y(ay^3-1)=0 $$

であるから，

$$ y=0 \quad \text{または} \quad y=\frac{1}{a^{1/3}} $$

を得る。

原点以外の交点では

$$ y=\frac{1}{a^{1/3}} $$

であり，これを $x=y^2$ に代入して

$$ x=\frac{1}{a^{2/3}} $$

となる。したがって，求める点の座標は

$$ \left(\frac{1}{a^{2/3}},\ \frac{1}{a^{1/3}}\right) $$

である。

（2） 回転体の体積を求める。

まず，第1象限で $C_2$ は $y=\sqrt{x}$ と書ける。したがって，$0\le x\le a^{-2/3}$ において，上側が $y=\sqrt{x}$，下側が $y=ax^2$ である。

したがって，$D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積 $V_1$ は，円板法により

$$ V_1=\pi \int_0^{a^{-2/3}}\left\{(\sqrt{x})^2-(ax^2)^2\right\},dx $$

である。よって

$$ \begin{aligned} V_1 &=\pi \int_0^{a^{-2/3}}(x-a^2x^4),dx \\ &=\pi \left[\frac{x^2}{2}-\frac{a^2x^5}{5}\right]_0^{a^{-2/3}} \\ &=\pi \left(\frac{a^{-4/3}}{2}-\frac{a^2\cdot a^{-10/3}}{5}\right) \\ &=\pi \left(\frac{a^{-4/3}}{2}-\frac{a^{-4/3}}{5}\right) \\ &=\frac{3\pi}{10a^{4/3}}. \end{aligned} $$

次に，$y$ 軸のまわりに1回転するときは，$x$ を $y$ の式で表すと

$$ C_1:\ x=\sqrt{\frac{y}{a}},\qquad C_2:\ x=y^2 $$

である。$0\le y\le a^{-1/3}$ において，右側が $x=\sqrt{y/a}$，左側が $x=y^2$ であるから，円板法により

$$ V_2=\pi \int_0^{a^{-1/3}}\left\{\left(\sqrt{\frac{y}{a}}\right)^2-(y^2)^2\right\},dy $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} V_2 &=\pi \int_0^{a^{-1/3}}\left(\frac{y}{a}-y^4\right),dy \\ &=\pi \left[\frac{y^2}{2a}-\frac{y^5}{5}\right]_0^{a^{-1/3}} \\ &=\pi \left(\frac{a^{-2/3}}{2a}-\frac{a^{-5/3}}{5}\right) \\ &=\pi \left(\frac{a^{-5/3}}{2}-\frac{a^{-5/3}}{5}\right) \\ &=\frac{3\pi}{10a^{5/3}}. \end{aligned} $$

(3)

$V_1\geqq V_2$ となる $a$ の範囲と，$V_1-V_2$ を最大にする $a$ を求める。

(2)より

$$ V_1=\frac{3\pi}{10a^{4/3}},\qquad V_2=\frac{3\pi}{10a^{5/3}} $$

であるから，

$$ V_1\geqq V_2 $$

は

$$ \frac{1}{a^{4/3}}\geqq \frac{1}{a^{5/3}} $$

と同値である。$a>0$ なので両辺に $a^{5/3}$ を掛けると，

$$ a^{1/3}\geqq 1 $$

すなわち

$$ a\geqq 1 $$

を得る。

次に

$$ V_1-V_2=\frac{3\pi}{10}\left(a^{-4/3}-a^{-5/3}\right) $$

である。ここで

$$ t=a^{1/3}\quad (t>0) $$

とおくと，

$$ V_1-V_2=\frac{3\pi}{10}\left(\frac{1}{t^4}-\frac{1}{t^5}\right) =\frac{3\pi}{10}\cdot \frac{t-1}{t^5} $$

となる。そこで

$$ f(t)=\frac{t-1}{t^5}=t^{-4}-t^{-5} $$

とおくと，

$$ f'(t)=-4t^{-5}+5t^{-6}=\frac{5-4t}{t^6} $$

である。したがって

$$ f'(t)=0 \iff t=\frac{5}{4} $$

であり，

$$ t<\frac{5}{4} \text{ で } f'(t)>0,\qquad t>\frac{5}{4} \text{ で } f'(t)<0 $$

だから，$f(t)$ は $t=\dfrac54$ のとき最大となる。

よって

$$ a=t^3=\left(\frac54\right)^3=\frac{125}{64} $$

のとき，$V_1-V_2$ は最大になる。

解説

この問題の要点は，$x=y^2$ を第1象限で $y=\sqrt{x}$ と見て，囲まれた領域を正確に把握することである。

交点計算自体は単純だが，体積計算では回転軸に応じて積分変数を変えるのが重要である。$x$ 軸まわりでは $y$ を半径として $x$ で積分し，$y$ 軸まわりでは $x$ を半径として $y$ で積分すると，式が自然に立つ。

最後の最大値は，$a$ のまま微分してもよいが，$a^{1/3}=t$ と置くと指数が整理され，計算が見通しよくなる。

答え

(1)

原点以外の交点は

$$ \left(\frac{1}{a^{2/3}},\ \frac{1}{a^{1/3}}\right) $$

である。

(2)

$$ V_1=\frac{3\pi}{10a^{4/3}},\qquad V_2=\frac{3\pi}{10a^{5/3}} $$

である。

(3)

$$ V_1\geqq V_2 \iff a\geqq 1 $$

であり，

$$ V_1-V_2 $$

を最大にする $a$ は

$$ a=\frac{125}{64} $$

である。