数学3 体積 問題 65 解説

方針・初手

$V_1$ は $x$ を用いて、$V_2$ は $y$ を用いて表すのが自然である。

ここで曲線 $C$ は

$$ y=\frac{x}{x+k} $$

であり、これを $x$ について解くと

$$ x=\frac{ky}{1-y} $$

となる。$x=a$ に対応する $y$ の値は

$$ y=\frac{a}{a+k} $$

であるから、$V_1,\ V_2$ の積分区間をそろえて比を求める。

解法1

まず、$V_1$ は円板法により

$$ V_1=\pi\int_0^a \left(\frac{x}{x+k}\right)^2 dx $$

である。

ここで

$$ y=\frac{x}{x+k} $$

とおくと、

$$ x=\frac{ky}{1-y} $$

であり、これを微分して

$$ dx=\frac{k}{(1-y)^2},dy $$

を得る。また、$x=0$ のとき $y=0$、$x=a$ のとき $y=\dfrac{a}{a+k}$ であるから、

$$ \frac{V_1}{\pi} =\int_0^{\frac{a}{a+k}} y^2\cdot \frac{k}{(1-y)^2},dy =k\int_0^{\frac{a}{a+k}} \frac{y^2}{(1-y)^2},dy $$

となる。

次に、$V_2$ を考える。$y$ を固定したとき、曲線 $C$ までの $x$ 座標は

$$ x=\frac{ky}{1-y} $$

であるから、$y$ 軸のまわりに回転したときの断面は半径 $\dfrac{ky}{1-y}$ の円である。したがって

$$ V_2=\pi\int_0^{\frac{a}{a+k}} \left(\frac{ky}{1-y}\right)^2 dy =\pi k^2\int_0^{\frac{a}{a+k}} \frac{y^2}{(1-y)^2},dy $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \frac{V_2}{V_1} &= \frac{\pi k^2\int_0^{\frac{a}{a+k}} \frac{y^2}{(1-y)^2},dy} {\pi k\int_0^{\frac{a}{a+k}} \frac{y^2}{(1-y)^2},dy} =k \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、曲線

$$ y=\frac{x}{x+k} $$

を $x$ について解いて

$$ x=\frac{ky}{1-y} $$

と表すことである。

すると、$V_1$ と $V_2$ の積分がどちらも

$$ \int_0^{\frac{a}{a+k}} \frac{y^2}{(1-y)^2},dy $$

という共通部分をもつ形になり、比だけを考えればその部分が打ち消し合う。各体積を実際に最後まで積分計算する必要はない。

答え

$$ \frac{V_2}{V_1}=k $$