数学3 体積 問題 67 解説

方針・初手

不等式

$$ (y-\sin\alpha)(y-\sin x)\le 0 $$

は、$y$ が $\sin\alpha$ と $\sin x$ の間にあることを表す。したがって領域 $D$ は、$0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ において、直線 $y=\sin\alpha$ と曲線 $y=\sin x$ にはさまれた部分である。

また、$0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x$ は単調増加であるから、$\sin x=\sin\alpha$ となるのは $x=\alpha$ のときである。よって面積や回転体の体積は、$x=\alpha$ で場合分けして求めるのが自然である。

解法1

(1)

$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ のとき、$\sin\alpha=\dfrac12$ であるから、領域 $D$ は直線 $y=\dfrac12$ と曲線 $y=\sin x$ にはさまれた部分である。

交点は

$$ \sin x=\frac12 $$

より

$$ x=\frac{\pi}{6} $$

である。したがって領域は

$$ \left\{ (x,y),\middle|,0\le x\le \frac{\pi}{6},\ \sin x\le y\le \frac12 \right\} \cup \left\{ (x,y),\middle|,\frac{\pi}{6}\le x\le \frac{\pi}{2},\ \frac12\le y\le \sin x \right\} $$

である。

面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_0^{\pi/6}\left(\frac12-\sin x\right),dx+\int_{\pi/6}^{\pi/2}\left(\sin x-\frac12\right),dx $$

となる。順に計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/6}\left(\frac12-\sin x\right),dx &= \left[\frac{x}{2}+\cos x\right]_0^{\pi/6} \\ \frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/6}^{\pi/2}\left(\sin x-\frac12\right),dx &= \left[-\cos x-\frac{x}{2}\right]_{\pi/6}^{\pi/2} \\ \frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6} \end{aligned} $$

であるから、

$$ S=\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1\right)+\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{6}\right) =\sqrt3-1-\frac{\pi}{12} $$

となる。

（2） 領域 $D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を $V$ とする。

各 $x$ において、領域は $y=\sin\alpha$ と $y=\sin x$ の間にあるので、回転後の断面は環となる。その断面積は

$$ \pi\left|\sin^2 x-\sin^2\alpha\right| $$

である。$0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ で $\sin x$ は単調増加だから、$x=\alpha$ を境に大小が入れ替わる。よって

$$ V=\pi\int_0^\alpha\left(\sin^2\alpha-\sin^2 x\right),dx +\pi\int_\alpha^{\pi/2}\left(\sin^2 x-\sin^2\alpha\right),dx $$

となる。

ここで

$$ \int \sin^2 x,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4} $$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{V}{\pi} &= \left\{\alpha\sin^2\alpha-\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\sin2\alpha}{4}\right)\right\} +\left\{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}+\frac{\sin2\alpha}{4}\right)-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin^2\alpha\right\} \\ &= \frac{\pi}{4}-\alpha+\frac{\sin2\alpha}{2}+\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\sin^2\alpha \end{aligned} $$

である。さらに $\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{V}{\pi} &= \frac12\sin2\alpha-\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\cos2\alpha \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ V=\pi\left\{\frac12\sin2\alpha-\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\cos2\alpha\right\} $$

である。

（3） 最小値を求めるため、$V$ を $\alpha$ で微分する。

$$ V=\pi\left\{\frac12\sin2\alpha-\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\cos2\alpha\right\} $$

より、

$$ \begin{aligned} \frac{dV}{d\alpha} &= \pi\left\{\cos2\alpha-\cos2\alpha+2\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\sin2\alpha\right\} \\ 2\pi\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\sin2\alpha \end{aligned} $$

となる。

$0\le \alpha\le \dfrac{\pi}{2}$ では $\sin2\alpha\ge 0$ であるから、

(i)

$0<\alpha<\dfrac{\pi}{4}$ では $\dfrac{dV}{d\alpha}<0$

(ii)

$\dfrac{\pi}{4}<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ では $\dfrac{dV}{d\alpha}>0$

である。よって $V$ は $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ で最小となる。

そのとき

$$ V=\pi\left\{\frac12\sin\frac{\pi}{2}-0\right\}=\frac{\pi}{2} $$

であり、

$$ \sin\alpha=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} $$

である。

（4） 最大値は閉区間 $0\le \alpha\le \dfrac{\pi}{2}$ の端で調べればよい。

$\alpha=0$ のとき

$$ V=\pi\int_0^{\pi/2}\sin^2 x,dx =\pi\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi^2}{4} $$

$\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ のときは $\sin\alpha=1$ であるから、

$$ V=\pi\int_0^{\pi/2}(1-\sin^2 x),dx =\pi\int_0^{\pi/2}\cos^2 x,dx =\pi\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi^2}{4} $$

となる。したがって最大値は

$$ \frac{\pi^2}{4} $$

であり、そのとき

$$ \sin\alpha=0,\ 1 $$

である。

解説

この問題の本質は、与えられた不等式が「2つのグラフの間の領域」を表していると読み取ることである。そこが見えれば、（1） は面積、（2） は回転体の体積として標準的に処理できる。

また、$0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ で $\sin x$ が単調増加であることから、大小関係が $x=\alpha$ で切り替わる。したがって絶対値や外半径・内半径の処理は、必ず $x=\alpha$ で分ける必要がある。

（3）、（4） では $V$ を $\alpha$ の関数として整理してから微分すると、増減がきれいに判定できる。端点で最大値が出ることも見落とせない。

答え

(1)

$\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ のとき、領域 $D$ は直線 $y=\dfrac12$ と曲線 $y=\sin x$ にはさまれた部分であり、面積は

$$ \sqrt3-1-\frac{\pi}{12} $$

である。

(2)

$$ V=\pi\left\{\frac12\sin2\alpha-\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\cos2\alpha\right\} $$

(3)

$V$ の最小値は

$$ \frac{\pi}{2} $$

であり、そのとき

$$ \sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2} $$

である。

(4)

$V$ の最大値は

$$ \frac{\pi^2}{4} $$

であり、そのとき

$$ \sin\alpha=0,\ 1 $$

である。