数学3 体積 問題 77 解説

方針・初手

$x$ 軸のまわりの回転体の体積であるから、各 $x$ における断面は半径 $y=e^{-x}\cos x$ の円となる。したがって、円板法を用いて

$$ V=\pi\int_0^{\pi/2} y^2,dx $$

を計算すればよい。

解法1

求める体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^{\pi/2} \left(e^{-x}\cos x\right)^2 dx =\pi\int_0^{\pi/2} e^{-2x}\cos^2 x,dx $$

である。

ここで

$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2} $$

を用いると、

$$ \int_0^{\pi/2} e^{-2x}\cos^2 x,dx =\frac12\int_0^{\pi/2} e^{-2x},dx+\frac12\int_0^{\pi/2} e^{-2x}\cos 2x,dx $$

となる。

まず、

$$ \frac12\int_0^{\pi/2} e^{-2x},dx =\frac12\left[-\frac12e^{-2x}\right]_0^{\pi/2} =\frac{1-e^{-\pi}}{4} $$

である。

次に、

$$ \int e^{-2x}\cos 2x,dx =\frac14 e^{-2x}\left(-\cos 2x+\sin 2x\right) $$

より、

$$ \frac12\int_0^{\pi/2} e^{-2x}\cos 2x,dx =\frac12\left[\frac14 e^{-2x}\left(-\cos 2x+\sin 2x\right)\right]_0^{\pi/2} $$

$$ =\frac12\left(\frac14e^{-\pi}-\left(-\frac14\right)\right) =\frac{1+e^{-\pi}}{8} $$

となる。

したがって、

$$ \int_0^{\pi/2} e^{-2x}\cos^2 x,dx =\frac{1-e^{-\pi}}{4}+\frac{1+e^{-\pi}}{8} =\frac{3-e^{-\pi}}{8} $$

であるから、

$$ V=\pi\cdot \frac{3-e^{-\pi}}{8} $$

となる。

解説

回転体の体積では、回転軸に垂直な断面の面積を積分する円板法が基本である。本問では半径が $e^{-x}\cos x$ なので、まず $y^2$ を積分する形に直すのが自然である。

その後は $\cos^2 x$ を半角公式

$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2} $$

で処理すると、指数関数と三角関数の積の積分に帰着できる。ここが計算の中心である。

答え

$$ \frac{\pi}{8}\left(3-e^{-\pi}\right) $$