数学3 体積 問題 98 解説

方針・初手

各 $u$ に対して，線分 $PQ$ は平面 $x=u$ 内にある。したがって，まず平面 $x=u$ に話を落として考えるのが自然である。

この平面内では，点 $(u,0,0)$ から線分 $PQ$ への距離は，直角三角形の斜辺への高さとして求められる。また，これを $x$ 軸のまわりに回転したとき，平面 $x=u$ での断面は円環になるので，その内半径・外半径を求めて断面積を積分すれば体積が出る。

解法1

（1） 点 $A=(u,0,0)$ とおく。

平面 $x=u$ で見ると，

• $A=(u,0,0)$
• $P=(u,u,0)$
• $Q=(u,0,\sqrt{1-u^2})$

であるから，この平面内では

$$ AP=u,\qquad AQ=\sqrt{1-u^2} $$

であり，しかも $AP\perp AQ$ である。

また，

$$ PQ=\sqrt{(u-0)^2+\left(0-\sqrt{1-u^2}\right)^2} =\sqrt{u^2+(1-u^2)}=1 $$

となる。

よって，点 $A$ から線分 $PQ$ への距離は，直角三角形 $APQ$ における斜辺 $PQ$ への高さであるから，

$$ \text{距離} =\frac{AP\cdot AQ}{PQ} =\frac{u\sqrt{1-u^2}}{1} =u\sqrt{1-u^2} $$

である。

（2） 平面 $x=u$ における線分 $PQ$ を $x$ 軸のまわりに回転すると，断面は円環になる。

その内半径は （1） で求めた

$$ r=u\sqrt{1-u^2} $$

である。

次に外半径を求める。線分 $PQ$ 上の点を

$$ R(t)=\left(u,\ (1-t)u,\ t\sqrt{1-u^2}\right)\qquad (0\le t\le 1) $$

とおく。この点の $x$ 軸からの距離を $\rho(t)$ とすると，

$$ \rho(t)^2=((1-t)u)^2+\left(t\sqrt{1-u^2}\right)^2 $$

すなわち

$$ \rho(t)^2 =u^2(1-t)^2+(1-u^2)t^2 =t^2-2u^2t+u^2 $$

となる。これは $t$ の2次関数で，下に凸であるから，区間 $0\le t\le 1$ での最大値は端点でとる。したがって外半径は

$$ \max{u,\sqrt{1-u^2}} $$

である。

よって断面積 $A(u)$ は，

(i)

$0\le u\le \dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき $\sqrt{1-u^2}\ge u$ であるから，

$$ A(u)=\pi\left\{(1-u^2)-u^2(1-u^2)\right\} =\pi(1-u^2)^2 $$

(ii)

$\dfrac{1}{\sqrt2}\le u\le 1$ のとき $u\ge \sqrt{1-u^2}$ であるから，

$$ A(u)=\pi\left\{u^2-u^2(1-u^2)\right\} =\pi u^4 $$

したがって，求める体積 $V$ は

$$ V=\int_0^{1/\sqrt2}\pi(1-u^2)^2,du+\int_{1/\sqrt2}^1\pi u^4,du $$

である。

まず，

$$ \int_0^{1/\sqrt2}(1-u^2)^2,du =\int_0^{1/\sqrt2}(1-2u^2+u^4),du $$

より，

$$ \int_0^{1/\sqrt2}(1-u^2)^2,du =\left[u-\frac{2}{3}u^3+\frac15u^5\right]_0^{1/\sqrt2} =\frac{43}{60\sqrt2} $$

また，

$$ \int_{1/\sqrt2}^1u^4,du =\left[\frac15u^5\right]_{1/\sqrt2}^1 =\frac15-\frac{1}{20\sqrt2} $$

であるから，

$$ V=\pi\left(\frac{43}{60\sqrt2}+\frac15-\frac{1}{20\sqrt2}\right) =\pi\left(\frac15+\frac{2}{3\sqrt2}\right) =\pi\left(\frac15+\frac{\sqrt2}{3}\right) $$

となる。

解説

この問題の要点は，立体全体を直接追わず，平面 $x=u$ における断面で考えることである。

（1） は，平面 $x=u$ にできる直角三角形 $APQ$ を見抜けば，斜辺への高さとして一瞬で処理できる。

（2） は，断面が円環になることを押さえ，内半径を （1） の結果から，外半径を線分上の点の $x$ 軸からの距離の最大値として求めるのが筋である。外半径が $u$ と $\sqrt{1-u^2}$ の大小で場合分けになる点がこの問題の中心である。

答え

(1)

点 $(u,0,0)$ と線分 $PQ$ の距離は

$$ u\sqrt{1-u^2} $$

である。

(2)

曲面 $S$ を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積は

$$ \pi\left(\frac15+\frac{\sqrt2}{3}\right) $$

である。