数学3 体積 問題 110 解説

方針・初手

線分 $AB$ を $z$ 軸のまわりに回転してできる曲面 $S$ は，頂点が $A(0,0,2)$，底円が $z=1$ 上にある円すいの側面である。

したがって，$S$ 上の点 $P$ を高さ $z$ で固定すると，条件 $PQ=2$ を満たす $xy$ 平面上の点 $Q$ は円周上を動く。そのとき中点 $M$ は高さ $z/2$ の平面上の円周を動く。これを各高さごとに調べ，断面積を積分すれば体積が出る。

解法1

点 $P$ を

$$ P=((2-z)\cos\theta,\ (2-z)\sin\theta,\ z) \qquad (1\le z\le 2) $$

とおく。

これは，$A(0,0,2)$ と $B(1,0,1)$ を結ぶ線分が $xz$ 平面上で

$$ x+z=2 $$

を満たすことから，回転後の曲面 $S$ が

$$ \sqrt{x^2+y^2}=2-z \qquad (1\le z\le 2) $$

で表されるためである。

この $P$ に対し，$Q$ は $xy$ 平面上，すなわち $z=0$ 上にあり，さらに $PQ=2$ を満たす。

したがって，$Q$ は平面 $z=0$ 上で，点 $P$ の真下

$$ ((2-z)\cos\theta,\ (2-z)\sin\theta,\ 0) $$

を中心とし，半径

$$ \sqrt{2^2-z^2}=\sqrt{4-z^2} $$

の円周上を動く。

このとき，中点 $M$ の $z$ 座標は

$$ \frac{z+0}{2}=\frac{z}{2} $$

である。よって，高さ $h=\dfrac{z}{2}$ とおくと

$$ \frac12 \le h \le 1,\qquad z=2h $$

である。

また，$M$ は $Q$ の動きに応じて，平面 $z=h$ 上の円周を動く。その円周の中心は

$$ ((2-z)\cos\theta,\ (2-z)\sin\theta,\ h) $$

であり，その半径は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\sqrt{4-z^2} &= \sqrt{1-h^2} \end{aligned} $$

である。

一方，この中心は $\theta$ を動かすと，平面 $z=h$ 上で半径

$$ 2-z=2-2h $$

の円周上を動く。

したがって，平面 $z=h$ での $K$ の断面は，$z$ 軸を中心とする同心円環になる。 その外半径は

$$ (2-2h)+\sqrt{1-h^2} $$

内半径は

$$ \left|(2-2h)-\sqrt{1-h^2}\right| $$

である。

よって，その断面積 $A(h)$ は

$$ \begin{aligned} A(h) &= \pi\left\{\left((2-2h)+\sqrt{1-h^2}\right)^2 -\left((2-2h)-\sqrt{1-h^2}\right)^2\right\} \\ &=4\pi(2-2h)\sqrt{1-h^2} \\ &=8\pi(1-h)\sqrt{1-h^2}. \end{aligned} $$

よって，求める体積 $V$ は

$$ V=\int_{1/2}^{1} 8\pi(1-h)\sqrt{1-h^2},dh $$

である。

これを計算する。

$$ \begin{aligned} V &= 8\pi\int_{1/2}^{1} \sqrt{1-h^2},dh &= 8\pi\int_{1/2}^{1} h\sqrt{1-h^2},dh. \end{aligned} $$

まず，

$$ \begin{aligned} \int \sqrt{1-h^2},dh &= \frac12\left(h\sqrt{1-h^2}+\arcsin h\right) \end{aligned} $$

より，

$$ \begin{aligned} \int_{1/2}^{1} \sqrt{1-h^2},dh &= \left[ \frac12\left(h\sqrt{1-h^2}+\arcsin h\right) \right]_{1/2}^{1} \\ &= \frac{\pi}{4} &= \frac12\left(\frac{\sqrt3}{4}+\frac{\pi}{6}\right) \\ &= \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}. \end{aligned} $$

次に，

$$ u=1-h^2 $$

とおけば，

$$ \begin{aligned} \int h\sqrt{1-h^2},dh &= -\frac13(1-h^2)^{3/2} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_{1/2}^{1} h\sqrt{1-h^2},dh &= \left[ -\frac13(1-h^2)^{3/2} \right]_{1/2}^{1} \\ &= \frac{\sqrt3}{8}. \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} V &= 8\pi\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}-\frac{\sqrt3}{8}\right) \\ &= 8\pi\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}\right) \\ &= \frac{4\pi^2}{3}-2\pi\sqrt3. \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は，$P,Q$ を直接追うのではなく，中点 $M$ を高さごとの断面で捉えることである。

高さ $z$ の点 $P$ に対し，$Q$ は $xy$ 平面上の円周を動くので，中点 $M$ も高さ $z/2$ の平面上の円周を動く。さらに $P$ 自体が $z$ 軸のまわりを回るため，その円周の中心もまた円周上を動き，結果として断面は同心円環になる。

立体の体積を求めるには，この「各高さでの断面積」を作る視点が最も自然である。

答え

$$ \frac{4\pi^2}{3}-2\pi\sqrt3 $$