数学3 体積 問題 126 解説

方針・初手

体積を等分する平面は $x$ 軸に垂直なので，位置 $x$ までの回転体の体積を累積体積として表す。全体は左右対称であり，中央の分割面は $x=\dfrac{\pi}{2}$ である。したがって，$a_n$ は中央より1つ左側の分割面の $x$ 座標である。

解法1

$x$ における断面は半径 $\sin x$ の円であるから，断面積は

$$ \pi \sin^2 x $$

である。よって，$0$ から $x$ までの部分の体積は

$$ V(x)=\pi\int_0^x \sin^2 t,dt $$

である。

全体の体積は

$$ V(\pi)=\pi\int_0^\pi \sin^2 t,dt =\pi\cdot \frac{\pi}{2} =\frac{\pi^2}{2} $$

である。

この立体を $2n$ 個の等体積の部分に分けるので，各部分の体積は

$$ \frac{1}{2n}\cdot \frac{\pi^2}{2} =\frac{\pi^2}{4n} $$

である。

$V\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ を計算すると，

$$ \begin{aligned} V\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \pi\int_0^{\pi/2}\sin^2 t,dt \\ \pi\cdot \frac{\pi}{4} \\ \frac{\pi^2}{4} \end{aligned} $$

である。これは全体の半分の体積であるから，$x=\dfrac{\pi}{2}$ は中央の分割面である。

$a_n$ は $\dfrac{\pi}{2}$ より小さく，$\dfrac{\pi}{2}$ に最も近い分割面の位置なので，$0$ から $a_n$ までには $n-1$ 個分の体積が入っている。したがって

$$ V(a_n)=(n-1)\frac{\pi^2}{4n} $$

である。すなわち

$$ \begin{aligned} \pi\int_0^{a_n}\sin^2 t,dt &= (n-1)\frac{\pi^2}{4n} \end{aligned} $$

より，

$$ \begin{aligned} \int_0^{a_n}\sin^2 t,dt &= \frac{n-1}{n}\cdot \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

となる。

一方，

$$ \int_0^{\pi/2}\sin^2 t,dt=\frac{\pi}{4} $$

であるから，差をとると

$$ \begin{aligned} \int_{a_n}^{\pi/2}\sin^2 t,dt &= \frac{\pi}{4} \\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{\pi}{4} \\ \frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ h_n=\frac{\pi}{2}-a_n $$

とおく。すると $a_n=\dfrac{\pi}{2}-h_n$ であり，

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/2-h_n}^{\pi/2}\sin^2 t,dt &= \frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

である。

この積分において，$u=\dfrac{\pi}{2}-t$ とおくと，$\sin t=\cos u$ であるから

$$ \begin{aligned} \int_0^{h_n}\cos^2 u,du &= \frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

となる。

ここで $n\to\infty$ のとき，右辺は $0$ に近づくので

$$ \int_0^{h_n}\cos^2 u,du \to 0 $$

である。したがって $h_n\to 0$ である。

求める極限は

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{\pi}{2}-a_n\right) &= \lim_{n\to\infty}nh_n \end{aligned} $$

である。

先ほどの式

$$ \begin{aligned} \int_0^{h_n}\cos^2 u,du &= \frac{\pi}{4n} \end{aligned} $$

の両辺を $h_n$ で割ると，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{h_n}\int_0^{h_n}\cos^2 u,du &= \frac{\pi}{4nh_n} \end{aligned} $$

である。

$h_n\to 0$ であり，$\cos^2 u$ は $u=0$ で連続だから，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{h_n}\int_0^{h_n}\cos^2 u,du &= \cos^2 0 \\ 1 \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{4nh_n}=1 $$

となる。したがって

$$ \lim_{n\to\infty}nh_n=\frac{\pi}{4} $$

である。

ゆえに

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\left(\frac{\pi}{2}-a_n\right) &= \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では，体積を等分する平面が $x$ 軸に垂直であるため，累積体積

$$ \pi\int_0^x \sin^2 t,dt $$

を考えるのが自然である。

重要なのは，$a_n$ が中央の分割面ではなく，その1つ左の分割面である点である。中央の分割面は対称性から $x=\dfrac{\pi}{2}$ であり，$a_n$ から $\dfrac{\pi}{2}$ までの薄い部分の体積が，ちょうど1つ分の体積

$$ \frac{\pi^2}{4n} $$

に等しい。

その薄い部分では断面積が $\pi\sin^2 x$ であり，$x=\dfrac{\pi}{2}$ の近くでは $\sin^2 x\to 1$ である。したがって，幅 $\dfrac{\pi}{2}-a_n$ はおおよそ $\dfrac{\pi}{4n}$ となり，極限は $\dfrac{\pi}{4}$ になる。

答え

$$ \boxed{\frac{\pi}{4}} $$