数学3 体積 問題 129 解説

方針・初手

正八面体 $T$ は

$$ |x|+|y|+|z|\le 1 $$

で表される。まず，辺の中点までの距離から球 $S$ の半径を求め，$T$ と $S$ の体積を出す。

そのうえで

$$ a+b=\operatorname{Vol}(T),\qquad a+c=\operatorname{Vol}(S) $$

を用いて，$b$ と $c$，さらに $a,b,c$ の大小を比較する。

解法1

正八面体 $T$ の 1 つの辺として，たとえば $(1,0,0)$ と $(0,1,0)$ を結ぶ辺を考える。その中点は

$$ \left(\frac12,\frac12,0\right) $$

であるから，球 $S$ の半径 $r$ は

$$ r=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac{1}{\sqrt2} $$

である。

したがって

$$ S:\ x^2+y^2+z^2\le \frac12 $$

である。

（1） $b$ と $c$ の比較

正八面体 $T$ は，8 個の合同な四面体

$$ x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ x+y+z\le 1 $$

に分けられる。1 個の体積は $\dfrac16$ なので，

$$ \operatorname{Vol}(T)=8\cdot \frac16=\frac43 $$

である。

一方，球 $S$ の体積は

$$ \operatorname{Vol}(S)=\frac43\pi\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^3 =\frac{2\pi}{3\sqrt2} $$

である。

ここで

$$ a+b=\operatorname{Vol}(T),\qquad a+c=\operatorname{Vol}(S) $$

より，

$$ c-b=\operatorname{Vol}(S)-\operatorname{Vol}(T) =\frac{2\pi}{3\sqrt2}-\frac43 $$

となる。

さらに

$$ \frac{2\pi}{3\sqrt2}-\frac43>0 \iff \pi>2\sqrt2 $$

であり，$\pi>2\sqrt2$ は成り立つ。よって

$$ c>b $$

である。

（2） $a,b,c$ の大小比較

原点から $T$ の各面までの距離は，たとえば面 $x+y+z=1$ までの距離を考えれば

$$ \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt3} $$

である。したがって，原点中心・半径 $\dfrac1{\sqrt3}$ の球は $T$ に内接する。

しかも

$$ \frac1{\sqrt3}<\frac1{\sqrt2} $$

であるから，この内接球は $S$ にも含まれる。よってこの内接球は $A$ に含まれるので，

$$ a>\frac43\pi\left(\frac1{\sqrt3}\right)^3 =\frac{4\pi}{9\sqrt3} $$

である。

まず，$a$ と $b$ を比べる。

$$ \frac{4\pi}{9\sqrt3}>\frac23 \iff 2\pi>3\sqrt3 $$

であり，$2\pi>3\sqrt3$ は成り立つから，

$$ a>\frac23 $$

となる。ところが

$$ a+b=\frac43 $$

であるから，$a>\dfrac23$ より

$$ a>b $$

である。

次に，$a$ と $c$ を比べる。

$$ \frac{4\pi}{9\sqrt3}>\frac{1}{2}\operatorname{Vol}(S) =\frac{\pi}{3\sqrt2} $$

は

$$ \frac{4}{9\sqrt3}>\frac{1}{3\sqrt2} \iff 4\sqrt2>3\sqrt3 $$

に同値であり，これは成り立つ。よって

$$ a>\frac12\operatorname{Vol}(S) $$

である。

しかも

$$ a+c=\operatorname{Vol}(S) $$

であるから，

$$ a>c $$

となる。

以上より

$$ a>c>b $$

である。

解説

この問題では，$a,b,c$ を直接積分で求める必要はない。

重要なのは，

$$ a+b=\operatorname{Vol}(T),\qquad a+c=\operatorname{Vol}(S) $$

という関係と，$T$ の内接球がそのまま $A$ の中に入ることに気づくことである。

（1） では全体の体積差を見るだけで $c>b$ が分かる。 （2） では $A$ の中に確実に入る球を使って $a$ の下限を作れば，$a>b,\ a>c$ が順に従う。

答え

(1)

$$ c>b $$

(2)

大きい順に並べると

$$ a>c>b $$

である。