数学3 体積 問題 132 解説

方針・初手

$x^2+y^2\le 1$ は $z$ 軸を軸とする半径 $1$ の円柱である。したがって、求める体積は、$xy$ 平面上の円板 $x^2+y^2\le 1$ の各点 $(x,y)$ における四面体の高さを積分すればよい。

まず四面体 $PABC$ の側面の平面方程式を求め、各 $(x,y)$ での上端の高さを表す。

解法1

四面体の3つの側面の方程式を求める。

面 $PAB$ は $P(0,0,2),A(0,2,0),B(\sqrt3,-1,0)$ を通るので、

$$ \sqrt3x+y+z=2 $$

である。

同様に、面 $PAC$ は

$$ -\sqrt3x+y+z=2 $$

面 $PBC$ は

$$ -2y+z=2 $$

である。

したがって、四面体の内部では

$$ z\le 2-\sqrt3x-y,\quad z\le 2+\sqrt3x-y,\quad z\le 2+2y,\quad z\ge 0 $$

が成り立つ。

ここで、求める立体の底面は円板

$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le 1} $$

である。

実際、$D$ が底面三角形 $ABC$ の内部に含まれることを確認しておく。$x^2+y^2\le 1$ ならば、コーシー・シュワルツの不等式より

$$ \sqrt3x+y \le \sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}\sqrt{x^2+y^2} \le 2 $$

同様に

$$ -\sqrt3x+y\le 2 $$

また $x^2+y^2\le 1$ なら $y\ge -1$ である。よって $D$ は三角形 $ABC$ の内部にある。

したがって、求める体積 $V$ は

$$ V=\iint_D \min(2-\sqrt3x-y,\ 2+\sqrt3x-y,\ 2+2y),dx,dy $$

となる。

ここで四面体は $z$ 軸まわりに $120^\circ$ 回転すると自分自身に重なるので、円板 $D$ も含めて3つの領域に等分して考えればよい。

3つの高さ関数を

$$ h_1=2-\sqrt3x-y,\quad h_2=2+\sqrt3x-y,\quad h_3=2+2y $$

とおく。

(i)

$h_3$ が最小になる領域を求める。

$$ h_3\le h_1,\quad h_3\le h_2 $$

より

$$ 2+2y\le 2-\sqrt3x-y,\quad 2+2y\le 2+\sqrt3x-y $$

すなわち

$$ y\le -\frac{x}{\sqrt3},\quad y\le \frac{x}{\sqrt3} $$

である。これは極座標 $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ で表すと

$$ -\frac{5\pi}{6}\le \theta\le -\frac{\pi}{6} $$

に対応する。

この扇形領域では上端の高さは

$$ h_3=2+2y=2+2r\sin\theta $$

である。

よって対称性より

$$ V =3\int_{-5\pi/6}^{-\pi/6}\int_0^1 (2+2r\sin\theta),r,dr,d\theta $$

となる。

内側から積分すると

$$ \int_0^1 (2+2r\sin\theta),r,dr =\int_0^1 (2r+2r^2\sin\theta),dr =1+\frac23\sin\theta $$

したがって

$$ V =3\int_{-5\pi/6}^{-\pi/6}\left(1+\frac23\sin\theta\right)d\theta $$

$$ =3\left[\theta-\frac23\cos\theta\right]_{-5\pi/6}^{-\pi/6} $$

$$ =3\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{2\sqrt3}{3}\right) =2\pi-2\sqrt3 $$

よって求める体積は

$$ V=2\pi-2\sqrt3 $$

である。

解説

この問題の要点は、$x^2+y^2\le 1$ を「半径1の円柱」と見て、各 $(x,y)$ に対する四面体の高さを積分することである。

底面の三角形 $ABC$ は原点を中心とする正三角形であり、頂点 $P$ はその真上にある。そのため高さ関数が3つの一次式で表され、しかも $120^\circ$ 回転の対称性を使って積分領域を1つの扇形にまとめられる。これが計算を大きく簡単にする。

答え

$$ 2\pi-2\sqrt3 $$