数学3 体積 問題 134 解説

方針・初手

この直方体は，底面が

$$ |x|+|y|\leqq 1 $$

で，高さ方向に

$$ 0\leqq z\leqq 1 $$

だけ広がった立体である。

したがって，回転体の体積は「回転軸に垂直な断面」を見ると求めやすい。

特に （3） では，平面 $x=t$ による切り口を調べるのが自然であり，そのために （2） の結果を用いる。

解法1

(1)

$X_1,\ X_2$ の体積

まず $X_1$ について考える。

直線 $AE$ は $z$ 軸方向の直線であり，点 $A(1,0,0)$ を通る。したがって，高さ $z=\text{一定}$ で切ると，毎回，底面の正方形 $ABCD$ を点 $A$ のまわりに回転した図形が現れる。

正方形 $ABCD$ の中で，点 $A$ から最も遠い点は $C$ であり，

$$ AC=2 $$

である。また，正方形は点 $A$ を含む連結な領域なので，1回転させると半径 $2$ の円板になる。

よって $X_1$ は，半径 $2$，高さ $1$ の円柱であるから，

$$ V_1=\pi\cdot 2^2\cdot 1=4\pi $$

次に $X_2$ について考える。

直線 $AB$ に垂直な平面で直方体を切ると，どの位置でも辺の長さが $\sqrt2$ と $1$ の長方形が現れる。たとえば点 $A$ を通る切り口は長方形 $ADHE$ である。

この長方形を，辺 $AB$ との交点を中心として回転すると，その断面は円板になる。半径は，その交点から長方形内の最遠点までの距離であり，長方形 $ADHE$ の対角線の長さに等しいから，

$$ \sqrt{(\sqrt2)^2+1^2}=\sqrt3 $$

である。

したがって $X_2$ は，半径 $\sqrt3$，高さ $AB=\sqrt2$ の円柱である。よって，

$$ V_2=\pi\cdot (\sqrt3)^2\cdot \sqrt2=3\sqrt2\pi $$

（2） 平面 $x=t$ と線分 $EF$ の共有点

線分 $EF$ は

$$ E(1,0,1),\quad F(0,1,1) $$

を結ぶ線分であるから，媒介変数 $s\ (0\leqq s\leqq 1)$ を用いて

$$ (x,y,z)=(1-s,\ s,\ 1) $$

と表せる。

これが平面 $x=t$ 上にあるためには

$$ 1-s=t $$

であればよいから，

$$ s=1-t $$

となる。したがって共有点は

$$ (t,\ 1-t,\ 1) $$

である。

(3)

$X_3$ の体積

$0\leqq t\leqq 1$ とする。

平面 $x=t$ で直方体を切ると，（2） より上側の頂点の1つは $(t,1-t,1)$ である。同様に，下側には $(t,t-1,1)$ があり，底面上には $(t,1-t,0)$，$(t,t-1,0)$ がある。

したがって，平面 $x=t$ による切り口は

$$ -(1-t)\leqq y\leqq 1-t,\qquad 0\leqq z\leqq 1 $$

で表される長方形である。

これを $x$ 軸のまわりに1回転すると，断面は円板になる。その半径は，原点 $(y,z)=(0,0)$ から長方形内の最遠点 $(1-t,1)$ までの距離だから，

$$ r(t)=\sqrt{(1-t)^2+1} $$

である。よって断面積は

$$ \pi r(t)^2=\pi\left\{(1-t)^2+1\right\} $$

となる。

また，立体は $yz$ 平面について対称であるから，

$$ V_3 =2\int_0^1 \pi\left\{(1-t)^2+1\right\},dt $$

である。これを計算すると，

$$ \begin{aligned} V_3 &=2\pi\int_0^1 \left((1-t)^2+1\right),dt \\ &=2\pi\int_0^1 (2-2t+t^2),dt \\ &=2\pi\left[2t-t^2+\frac{t^3}{3}\right]_0^1 \\ &=2\pi\left(2-1+\frac13\right) \\ &=\frac{8\pi}{3} \end{aligned} $$

解説

（1） は，回転軸に垂直な断面がすべて同じ円板になることを見抜けば，円柱として一気に求まる。

（2） は線分の媒介変数表示の基本問題であり，（3） の切り口の頂点を把握するための準備になっている。

（3） では，平面 $x=t$ での切り口が長方形になり，それを $x$ 軸のまわりに回すと円板になる。半径を正しく

$$ \sqrt{(1-t)^2+1} $$

と置けるかが要点である。

答え

(1)

$$ V_1=4\pi,\qquad V_2=3\sqrt2\pi $$

(2)

共有点の座標は

$$ (t,\ 1-t,\ 1) $$

である。

(3)

$$ V_3=\frac{8\pi}{3} $$