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数学3 定積分・面積問題 79 解説

方針・初手

(1) は $\int 1 \cdot (\log x)^2 dx$ とみなして部分積分を行う定石です。(2) と (3) は証明すべき不等式の左辺の定積分を実際に計算し、得られた値が右辺に $b-a$ を掛けた値よりも小さいことを示します。(3) の積分計算においては、(1) で求めた不定積分の結果を利用して展開して計算するか、置換積分を利用して計算量を減らすことができます。

解法1

(1)

部分積分法を用いる。$\int (\log x)^2 dx = \int 1 \cdot (\log x)^2 dx$ とみなして計算する。

$$\begin{aligned} \int (\log x)^2 dx &= x (\log x)^2 - \int x \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx \\ &= x (\log x)^2 - 2 \left( x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx \right) \\ &= x (\log x)^2 - 2 (x \log x - x) + C \\ &= x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C \quad (C \text{は積分定数}) \end{aligned}$$

(2)

不等式の分母を払い、$\int_a^b (\log b - \log x) dx < b - a$ を示す。左辺の定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_a^b (\log b - \log x) dx &= \Big[ x \log b - (x \log x - x) \Big]_a^b \\ &= (b \log b - b \log b + b) - (a \log b - a \log a + a) \\ &= b - a \log b + a \log a - a \\ &= (b - a) - a(\log b - \log a) \end{aligned}$$

ここで、$0 < a < b$ であるから、$b - a > 0$ かつ $\log b - \log a > 0$ である。また、$a > 0$ であるから、

$$a(\log b - \log a) > 0$$

したがって、定積分の値について次が成り立つ。

$$\int_a^b (\log b - \log x) dx < b - a$$

両辺を正の数 $b - a$ で割ると、

$$\frac{1}{b-a} \int_a^b (\log b - \log x) dx < 1$$

となり、題意は示された。

(3)

(2) と同様に不等式の分母を払い、$\int_a^b (\log b - \log x)^2 dx < 2(b - a)$ を示す。左辺の被積分関数を展開する。

$$\int_a^b (\log b - \log x)^2 dx = \int_a^b \left\{ (\log b)^2 - 2\log b \cdot \log x + (\log x)^2 \right\} dx$$

(1) の結果を利用して、被積分関数の原始関数の1つを $F(x)$ とすると、次のように表せる。

$$F(x) = x(\log b)^2 - 2\log b (x \log x - x) + x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x$$

$F(b)$ と $F(a)$ をそれぞれ計算して整理する。

$$\begin{aligned} F(b) &= b(\log b)^2 - 2\log b(b \log b - b) + b(\log b)^2 - 2b \log b + 2b \\ &= b(\log b)^2 - 2b(\log b)^2 + 2b \log b + b(\log b)^2 - 2b \log b + 2b \\ &= 2b \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} F(a) &= a(\log b)^2 - 2\log b(a \log a - a) + a(\log a)^2 - 2a \log a + 2a \\ &= a(\log b)^2 - 2a \log b \log a + 2a \log b + a(\log a)^2 - 2a \log a + 2a \\ &= a \left\{ (\log b)^2 - 2\log b \log a + (\log a)^2 \right\} + 2a(\log b - \log a) + 2a \\ &= a(\log b - \log a)^2 + 2a(\log b - \log a) + 2a \end{aligned}$$

よって、定積分の値は次のようになる。

$$\begin{aligned} \int_a^b (\log b - \log x)^2 dx &= F(b) - F(a) \\ &= 2b - \left\{ a(\log b - \log a)^2 + 2a(\log b - \log a) + 2a \right\} \\ &= 2(b - a) - a(\log b - \log a)^2 - 2a(\log b - \log a) \end{aligned}$$

$0 < a < b$ であるから、$a > 0$ かつ $\log b - \log a > 0$ であり、

$$a(\log b - \log a)^2 > 0, \quad 2a(\log b - \log a) > 0$$

したがって、次の不等式が成り立つ。

$$\int_a^b (\log b - \log x)^2 dx < 2(b - a)$$

両辺を正の数 $b - a$ で割ると、

$$\frac{1}{b-a} \int_a^b (\log b - \log x)^2 dx < 2$$

となり、題意は示された。

解法2

(2) と (3) における定積分の別解

$t = \log x$ と置換する。$x = e^t$ より $dx = e^t dt$ であり、積分区間は $x$ が $a \to b$ のとき、$t$ は $\log a \to \log b$ となる。

(2)

置換積分法により、左辺の定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_a^b (\log b - \log x) dx &= \int_{\log a}^{\log b} (\log b - t) e^t dt \\ &= \Big[ (\log b - t)e^t \Big]_{\log a}^{\log b} - \int_{\log a}^{\log b} (-1) e^t dt \\ &= - (\log b - \log a) e^{\log a} + \Big[ e^t \Big]_{\log a}^{\log b} \\ &= - a(\log b - \log a) + (e^{\log b} - e^{\log a}) \\ &= (b - a) - a(\log b - \log a) \end{aligned}$$

これ以降の不等式評価は解法1と同じであるため省略する。

(3)

同様に置換積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} \int_a^b (\log b - \log x)^2 dx &= \int_{\log a}^{\log b} (\log b - t)^2 e^t dt \\ &= \Big[ (\log b - t)^2 e^t \Big]_{\log a}^{\log b} - \int_{\log a}^{\log b} 2(\log b - t) \cdot (-1) e^t dt \\ &= - (\log b - \log a)^2 e^{\log a} + 2 \int_{\log a}^{\log b} (\log b - t) e^t dt \end{aligned}$$

ここで、上の (2) で計算した定積分の結果 $\int_{\log a}^{\log b} (\log b - t) e^t dt = (b - a) - a(\log b - \log a)$ を代入する。

$$\begin{aligned} \int_a^b (\log b - \log x)^2 dx &= - a(\log b - \log a)^2 + 2 \left\{ (b - a) - a(\log b - \log a) \right\} \\ &= 2(b - a) - a(\log b - \log a)^2 - 2a(\log b - \log a) \end{aligned}$$

これ以降の不等式評価は解法1と同じであるため省略する。