トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 定積分・面積› 問題 270

数学3 定積分・面積問題 270 解説

方針・初手

定積分で表された関数 $f(x)$ の最小値を求めるため、まずは $x$ について微分し、導関数 $f'(x)$ の符号を調べて増減表を作成する。微積分の基本定理 $\frac{d}{dx}\int_a^x g(t)dt = g(x)$ を用いる。最小値を与える $x$ の値が分かったら、その値を $f(x)$ に代入して定積分を計算する。その際、分母が2次式である分数関数の積分となるため、平方完成して $\tan \theta$ と置換する定石を用いる。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = \int_{-1}^{x} \frac{dt}{t^2-t+1} + \int_{x}^{1} \frac{dt}{t^2+t+1}$$

まず、関数 $f(x)$ を $x$ について微分する。第2項については積分の上下端を入れ替えてから微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx} \left( \int_{-1}^{x} \frac{dt}{t^2-t+1} - \int_{1}^{x} \frac{dt}{t^2+t+1} \right) \\ &= \frac{1}{x^2-x+1} - \frac{1}{x^2+x+1} \\ &= \frac{(x^2+x+1) - (x^2-x+1)}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)} \\ &= \frac{2x}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)} \end{aligned}$$

ここで、分母の各因数について平方完成を行うと、

$$x^2-x+1 = \left( x-\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0$$

$$x^2+x+1 = \left( x+\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0$$

となるため、すべての実数 $x$ において分母は正である。したがって、$f'(x)$ の符号は分子の $2x$ の符号と一致する。これより、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとる。その値 $f(0)$ を計算する。

$$f(0) = \int_{-1}^{0} \frac{dt}{t^2-t+1} + \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+t+1}$$

第1項の積分において、$t = -u$ と置換すると、$dt = -du$ であり、積分区間は $t: -1 \to 0$ に対応して $u: 1 \to 0$ となる。

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{0} \frac{dt}{t^2-t+1} &= \int_{1}^{0} \frac{-du}{(-u)^2-(-u)+1} \\ &= \int_{0}^{1} \frac{du}{u^2+u+1} \end{aligned}$$

したがって、最小値 $f(0)$ は次のようにまとめられる。

$$\begin{aligned} f(0) &= \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+t+1} + \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+t+1} \\ &= 2 \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+t+1} \end{aligned}$$

この定積分を計算する。分母を平方完成して $t^2+t+1 = \left( t+\frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}$ となるので、$t+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ と置換する。両辺を $\theta$ で微分すると、$dt = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$ となる。積分区間は $t: 0 \to 1$ に対応して、$\tan \theta$ の値は $\frac{1}{\sqrt{3}} \to \sqrt{3}$ となるため、$\theta: \frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{3}$ となる。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2+t+1} &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\frac{3}{4} \tan^2 \theta + \frac{3}{4}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{4}{3(1+\tan^2 \theta)} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{4}{3} \cos^2 \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\cos^2 \theta} d\theta \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \Big[ \theta \Big]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\pi}{6} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{9}\pi \end{aligned}$$

ゆえに、求める最小値は、

$$f(0) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{9}\pi = \frac{2\sqrt{3}}{9}\pi$$

となる。

解説

定積分で表された関数の極値問題と、分数関数の積分の基本事項を問う標準的な問題である。前半は、積分区間に変数 $x$ を含む関数を $x$ で微分し、増減を調べる。微分の際、第2項の積分区間の上限と下限を入れ替えてマイナスをつけることで、微積分の基本定理を適用しやすい形にするのがポイントである。後半は、最小値をとる $x=0$ を代入した後の定積分計算である。被積分関数の分母が $t^2-t+1$ と $t^2+t+1$ であり、置換積分によって2つの定積分を同じ形にまとめることができると計算量が減る。さらに、$\frac{1}{t^2+a^2}$ の形を含む積分であるため、$t = a \tan \theta$ の置換を行う典型的な手法を用いる。