数学A 場合の数 問題 12 解説

方針・初手

ネックレスでは、回転して一致するものを同じとみなす。また、同じネックレスを裏返すと、右回りと左回りが入れ替わるので、裏返して一致するものも同じとみなす。

したがって、$7$ 個の位置に赤白を入れる $2^7$ 通りを、回転と裏返しによる同一視で数える。

解法1

まず、$7$ 個のビーズを円周上の $7$ か所に並べると考える。各位置は赤または白の $2$ 通りなので、位置を区別すれば

$$ 2^7=128 $$

通りある。

ここで、ネックレスとして同じものをまとめるため、回転と裏返しによる対称性を考える。正七角形の対称操作は、回転 $7$ 個、裏返し $7$ 個の合計 $14$ 個である。

平均して何通りが各対称操作で変わらないかを数える。

まず、何もしない操作では、すべての並べ方がそのまま固定されるので

$$ 128 $$

通りである。

次に、$1$ 個分、$2$ 個分、$\ldots$、$6$ 個分回転する操作を考える。$7$ は素数なので、このような回転で一致するには、すべてのビーズが同じ色でなければならない。したがって、それぞれ

$$ 2 $$

通りであり、$6$ 個の回転について合計は

$$ 6\cdot 2=12 $$

通りである。

次に、裏返しを考える。$7$ 個のビーズでは、裏返しの軸は $1$ 個のビーズを通り、残り $6$ 個のビーズを $3$ 組の対に分ける。

裏返して変わらないためには、対になったビーズどうしが同じ色であればよい。したがって、軸上の $1$ 個と $3$ 組の対について、それぞれ赤白を選べるので、各裏返しで固定される並べ方は

$$ 2^4=16 $$

通りである。

裏返しは $7$ 個あるので、合計は

$$ 7\cdot 16=112 $$

通りである。

よって、ネックレスの作り方は

$$ \begin{aligned} \frac{128+12+112}{14} &= \frac{252}{14} \\ 18 \end{aligned} $$

通りである。

解説

この問題では、単に $2^7=128$ 通りとすると、同じネックレスを何度も数えてしまう。

特に注意すべき点は、ネックレスには始点がないため回転して一致するものを同じとみなすこと、さらに裏返して一致するものも同じとみなすことである。$7$ が素数なので、回転で固定される並べ方が「全部赤」「全部白」の $2$ 通りだけになる点が計算を簡単にしている。

答え

$$ \boxed{18} $$