数学A 場合の数 問題 13 解説

方針・初手

「$1$ が使われている」は、少なくとも1か所に $1$ が現れるという意味である。

桁の条件では、千の位だけ $0$ を使えない点に注意する。そこで、まず全体の個数から「指定された数字が使われていないもの」を引く。複数の数字を含む条件では包除原理を用いる。

解法1

$1000$ から $9999$ までの $4$ 桁の自然数は

$$ 9999-1000+1=9000 $$

個ある。

(1)

$1$ が使われていないものを数える。

千の位は $0,1$ 以外なので $8$ 通りである。残りの $3$ 桁は $1$ 以外ならよいので、それぞれ $9$ 通りである。

したがって、$1$ が使われていないものは

$$ 8\cdot 9^3=5832 $$

個である。

よって、$1$ が使われているものは

$$ 9000-5832=3168 $$

個である。

(2)

$1,2$ の両方が使われているものを数える。

$1$ が使われていないものは

$$ 8\cdot 9^3 $$

個であり、$2$ が使われていないものも同様に

$$ 8\cdot 9^3 $$

個である。

ただし、$1,2$ の両方が使われていないものを二重に引いているので足し戻す。千の位は $0,1,2$ 以外なので $7$ 通り、残りの $3$ 桁は $1,2$ 以外なのでそれぞれ $8$ 通りである。

したがって、$1,2$ の両方が使われていないものは

$$ 7\cdot 8^3=3584 $$

個である。

包除原理より、$1,2$ の両方が使われているものは

$$ 9000-2\cdot 8\cdot 9^3+7\cdot 8^3 $$

である。計算すると

$$ 9000-2\cdot 5832+3584=920 $$

となる。

(3)

$1,2,3$ のすべてが使われているものを数える。

$1,2,3$ のうち、ある $1$ つの数字が使われていないものは、それぞれ

$$ 8\cdot 9^3 $$

個である。

$1,2,3$ のうち、ある $2$ つの数字が使われていないものは、それぞれ

$$ 7\cdot 8^3 $$

個である。

$1,2,3$ のすべてが使われていないものは、千の位が $4,5,6,7,8,9$ の $6$ 通り、残りの $3$ 桁が $0,4,5,6,7,8,9$ の $7$ 通りずつなので

$$ 6\cdot 7^3 $$

個である。

包除原理より、$1,2,3$ のすべてが使われているものは

$$ 9000-3\cdot 8\cdot 9^3+3\cdot 7\cdot 8^3-6\cdot 7^3 $$

である。計算すると

$$ 9000-3\cdot 5832+3\cdot 3584-2058=198 $$

となる。

解法2

（3） については、直接数えて確認できる。

$4$ 桁の中に $1,2,3$ がすべて含まれるので、残りの $1$ 桁を場合分けする。

（i） 残りの $1$ 桁が $1,2,3$ のいずれかである場合

重複する数字の選び方は $3$ 通りである。例えば $1,1,2,3$ の並べ方は

$$ \frac{4!}{2!}=12 $$

通りである。

したがって、この場合は

$$ 3\cdot 12=36 $$

通りである。

（ii） 残りの $1$ 桁が $0$ である場合

数字は $0,1,2,3$ である。すべて並べると $4!$ 通りだが、千の位が $0$ になるものは $3!$ 通りあり、これは $4$ 桁の自然数ではない。

したがって、この場合は

$$ 4!-3!=24-6=18 $$

通りである。

（iii） 残りの $1$ 桁が $4,5,6,7,8,9$ のいずれかである場合

残りの数字の選び方は $6$ 通りである。各場合で $4$ 個の数字はすべて異なり、$0$ を含まないので、並べ方は $4!$ 通りである。

したがって、この場合は

$$ 6\cdot 4!=6\cdot 24=144 $$

通りである。

以上より、

$$ 36+18+144=198 $$

となり、解法1の結果と一致する。

解説

この問題では、「使われている」を「少なくとも1回現れる」と読むことが重要である。

（1） は余事象で数えるのが最も早い。 （2）、（3） は複数の数字を同時に含む条件なので、単純に引くだけでは重複が生じる。そのため包除原理を使う。

また、$4$ 桁の自然数では千の位に $0$ を置けない。各桁を自由に数えるときでも、千の位だけは別に扱う必要がある。

答え

(1)

$$ 3168 $$

(2)

$$ 920 $$

(3)

$$ 198 $$