数学A 場合の数 問題 14 解説

方針・初手

表のコインを $1$、裏のコインを $0$ として、各対角線上の「表の枚数が偶数」という条件を $2$ を法とする式で表す。

交点 $P,Q,R,S,T$ 上のコインは固定されているので、それらを定数とみなし、頂点 $A,B,C,D,E$ 上の表裏だけを未知数として考える。

解法1

頂点 $A,B,C,D,E$ 上のコインが表であるかどうかを、それぞれ

$$ a,b,c,d,e $$

で表す。また、点 $P,Q,R,S,T$ 上のコインが表であるかどうかを、それぞれ

$$ p,q,r,s,t $$

で表す。ただし、いずれも表なら $1$、裏なら $0$ とし、計算はすべて $2$ を法として行う。

各対角線上にある4枚のコインについて、表の枚数が偶数である条件を書く。

対角線 $AC$ 上には $A,P,Q,C$ があるから、

$$ a+p+q+c=0 $$

対角線 $CE$ 上には $C,R,S,E$ があるから、

$$ c+r+s+e=0 $$

対角線 $EB$ 上には $E,T,P,B$ があるから、

$$ e+t+p+b=0 $$

対角線 $BD$ 上には $B,Q,R,D$ があるから、

$$ b+q+r+d=0 $$

対角線 $DA$ 上には $D,S,T,A$ があるから、

$$ d+s+t+a=0 $$

まず $a$ の値を決める。すると、最初の式から

$$ c=a+p+q $$

次に、2つ目の式から

$$ e=c+r+s=a+p+q+r+s $$

3つ目の式から

$$ b=e+t+p=a+q+r+s+t $$

4つ目の式から

$$ d=b+q+r=a+s+t $$

ここまでで、$a$ を決めれば $c,e,b,d$ はすべて一意に決まる。

最後に、5つ目の式が自動的に成り立つことを確認する。

$$ d+s+t+a=(a+s+t)+s+t+a=0 $$

よって、$a$ は $0$ または $1$ の2通りに選べ、そのそれぞれに対して $b,c,d,e$ はただ1通りに定まる。

したがって、条件を満たす表裏の配置は

$$ 2 $$

通りである。

また、コインは互いに区別がつかないので、同じ表裏の配置を別の置き方として数えることはない。

解説

この問題の本質は、「偶数枚」という条件を $2$ を法とする足し算に直すことである。

各対角線の条件は5本分あるが、実際には独立な条件は4本分であり、残り1本は自動的に満たされる。これは、各交点 $P,Q,R,S,T$ がちょうど2本の対角線に含まれ、$2$ を法とする計算では同じものが2回現れると消えるためである。

したがって、1つの頂点、たとえば $A$ の表裏を決めると、残りの頂点の表裏は順にすべて決まる。$A$ の選び方が表・裏の2通りあるので、答えも2通りとなる。

答え

$$ 2\text{通り} $$