数学A 約数の個数 問題 3 解説

方針・初手

正の約数の個数は、素因数分解して

$$ N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} $$

と表したとき、

$$ (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1) $$

で求められる。

後半は、$2^l3^m5^n$ の正の約数の個数が $(l+1)(m+1)(n+1)$ になることを使い、$l+m+n=9$ のもとでこの積を最大にする。

解法1

まず、$729$ を素因数分解する。

$$ 729=3^6 $$

したがって、正の約数の個数は

$$ 6+1=7 $$

である。よって、$[ア]=7$ である。

次に、$784$ を素因数分解する。

$$ 784=28^2=(2^2\cdot 7)^2=2^4\cdot 7^2 $$

したがって、正の約数の個数は

$$ (4+1)(2+1)=5\cdot 3=15 $$

である。よって、$[イ]=15$ である。

最後に、$l,m,n$ を正の整数として、$2^l3^m5^n$ の正の約数の個数を考える。

$$ 2^l3^m5^n $$

の正の約数は、$2,3,5$ の指数をそれぞれ $0$ から $l,m,n$ まで選ぶことで決まる。したがって、正の約数の個数は

$$ (l+1)(m+1)(n+1) $$

である。

条件は

$$ l+m+n=9 $$

であり、$l,m,n$ は正の整数である。

積 $(l+1)(m+1)(n+1)$ を大きくするには、$l,m,n$ をできるだけ均等にするのがよい。実際、和が一定の正の数では、差が大きい2つを近づけると積は大きくなる。

例えば $a\geq b+2$ のとき、$a+b$ を保ったまま $(a,b)$ を $(a-1,b+1)$ に変えると、

$$ (a-1)(b+1)-ab=a-b-1>0 $$

となり、積が増える。

したがって、$l,m,n$ はできるだけ等しくする。$l+m+n=9$ なので、

$$ l=m=n=3 $$

のときが最大である。

このとき、正の約数の個数は

$$ (3+1)(3+1)(3+1)=4^3=64 $$

である。

よって、$[ウ]=64$ である。

解説

この問題の中心は、素因数分解と約数の個数の公式である。

特に後半では、$l+m+n=9$ という「指数の和」が固定されているため、$(l+1)(m+1)(n+1)$ を最大にする問題になる。和が一定なら、積はできるだけ均等に分けたときに大きくなる。今回は $9$ を正の整数 $3$ つに分けるので、$3,3,3$ が最適である。

答え

$$ [ア]=7,\qquad [イ]=15,\qquad [ウ]=64 $$