数学A 約数の個数 問題 4 解説

方針・初手

正の約数の個数は、素因数分解して指数を見る。奇数の約数だけを考えるときは、素因数分解のうち $2$ の因子を使わない約数だけを数えればよい。

解法1

まず $2744$ を素因数分解する。

$$ 2744=8\cdot 343=2^3\cdot 7^3 $$

一般に、

$$ n=p^a q^b $$

の形に素因数分解されるとき、正の約数の個数は

$$ (a+1)(b+1) $$

である。これは、約数を作るときに $p$ の指数を $0,1,\dots,a$ から選び、$q$ の指数を $0,1,\dots,b$ から選ぶためである。

したがって、$2744=2^3\cdot 7^3$ の正の約数の個数は

$$ (3+1)(3+1)=16 $$

である。

次に、正の約数のうち奇数であるものを考える。奇数の約数には $2$ の因子が含まれないので、$2$ の指数は $0$ に固定される。

よって奇数の約数は

$$ 7^0,\ 7^1,\ 7^2,\ 7^3 $$

である。

その総和は

$$ 1+7+49+343=400 $$

となる。

解説

正の約数の個数を求める問題では、まず素因数分解することが基本である。$2744$ は大きく見えるが、$2744=8\cdot343$ と分けると、$2^3\cdot7^3$ とすぐに分解できる。

奇数の約数だけを考える場合は、素因数分解から $2$ の部分を除いて考える。今回は $2^3\cdot7^3$ なので、奇数の約数は $7$ の累乗だけで作られる。

答え

正の約数の個数は

$$ 16 $$

正の約数のうち、奇数の総和は

$$ 400 $$