数学B 等差数列･等比数列 問題 4 解説

方針・初手

部分和の条件が与えられているので、等差数列の場合は等差数列の和の公式、等比数列の場合は等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を直接用いる。

等比数列では、初項から第 $6$ 項までの和を

$$ a_1(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5) $$

と表し、因数分解

$$ 1+r+r^2+r^3+r^4+r^5=(1+r+r^2)(1+r^3) $$

を使うのが簡潔である。

解法1

まず、${a_n}$ が等差数列である場合を考える。

初項を $a_1$、公差を $d$ とすると、第 $n$ 項は

$$ a_n=a_1+(n-1)d $$

である。

初項から第 $3$ 項までの和は

$$ a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=3a_1+3d $$

であるから、

$$ 3a_1+3d=3 $$

すなわち

$$ a_1+d=1 $$

を得る。

また、初項から第 $6$ 項までの和は

$$ a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d)+(a_1+5d) =6a_1+15d $$

であるから、

$$ 6a_1+15d=-21 $$

両辺を $3$ で割って、

$$ 2a_1+5d=-7 $$

を得る。

したがって

$$ \begin{cases} a_1+d=1 \\ 2a_1+5d=-7 \end{cases} $$

を解けばよい。

第 $1$ 式より

$$ a_1=1-d $$

これを第 $2$ 式に代入すると、

$$ 2(1-d)+5d=-7 $$

よって

$$ 2+3d=-7 $$

したがって

$$ d=-3 $$

である。これより

$$ a_1=1-(-3)=4 $$

となる。

次に、${a_n}$ が等比数列である場合を考える。

初項を $a_1$、公比を $r$ とすると、初項から第 $3$ 項までの和は

$$ a_1(1+r+r^2) $$

である。したがって

$$ a_1(1+r+r^2)=3 $$

である。

また、初項から第 $6$ 項までの和は

$$ a_1(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5) $$

である。ここで

$$ 1+r+r^2+r^3+r^4+r^5=(1+r+r^2)(1+r^3) $$

だから、

$$ a_1(1+r+r^2)(1+r^3)=-21 $$

となる。

一方、

$$ a_1(1+r+r^2)=3 $$

であるから、

$$ 3(1+r^3)=-21 $$

を得る。

よって

$$ 1+r^3=-7 $$

すなわち

$$ r^3=-8 $$

である。公比 $r$ は実数なので、

$$ r=-2 $$

である。

これを

$$ a_1(1+r+r^2)=3 $$

に代入すると、

$$ a_1{1+(-2)+(-2)^2}=3 $$

すなわち

$$ 3a_1=3 $$

であるから、

$$ a_1=1 $$

となる。

解説

等差数列では、部分和を初項 $a_1$ と公差 $d$ の一次式として表せば、連立一次方程式に帰着する。

等比数列では、初項から第 $6$ 項までの和を第 $3$ 項までの和と結びつけることが要点である。実際、

$$ 1+r+r^2+r^3+r^4+r^5=(1+r+r^2)(1+r^3) $$

なので、第 $6$ 項までの和は「第 $3$ 項までの和」に $1+r^3$ を掛けた形になる。

この処理により、初項 $a_1$ をいったん消去して公比 $r$ を先に求められる。

答え

等差数列のとき

$$ [\text{ア}]=4,\qquad [\text{イ}]=-3 $$

等比数列のとき

$$ [\text{ウ}]=1,\qquad [\text{エ}]=-2 $$