数学B 等差数列･等比数列 問題 5 解説

方針・初手

部分和 $S_n$ が与えられているので、まず

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

によって一般項を求める。ただし、これは $n\geqq 2$ に対して使う式であり、$a_1=S_1$ は別に扱う必要がある。

解法1

$n\geqq 2$ のとき、

$$ \begin{aligned} a_n &=S_n-S_{n-1} \\ &={\alpha n^3+\beta n^2+\gamma n+\delta} -{\alpha(n-1)^3+\beta(n-1)^2+\gamma(n-1)+\delta} \\ &=\alpha{n^3-(n-1)^3} +\beta{n^2-(n-1)^2} +\gamma \\ &=\alpha(3n^2-3n+1)+\beta(2n-1)+\gamma \\ &=3\alpha n^2+(-3\alpha+2\beta)n+\alpha-\beta+\gamma. \end{aligned} $$

したがって、$n\geqq 2$ における $a_n$ は $n$ の2次式である。

第2項以降が等差数列であるためには、$a_n$ が $n$ の1次式以下であることが必要十分である。よって

$$ 3\alpha=0 $$

すなわち

$$ \alpha=0 $$

が必要十分条件である。

このとき、$n\geqq 2$ では

$$ a_n=\beta(2n-1)+\gamma $$

となるから、

$$ a_{n+1}-a_n=2\beta \qquad (n\geqq 2) $$

であり、第2項以降は確かに等差数列である。

次に、初項とのつながりを見る。$a_1=S_1$ より、

$$ a_1=\alpha+\beta+\gamma+\delta. $$

いま $\alpha=0$ のもとでは

$$ a_1=\beta+\gamma+\delta, $$

また

$$ a_2=3\beta+\gamma $$

である。したがって

$$ a_2-a_1=(3\beta+\gamma)-(\beta+\gamma+\delta)=2\beta-\delta. $$

一方、第2項以降の公差は $2\beta$ である。

よって、数列全体が等差数列であるためには

$$ a_2-a_1=2\beta $$

であることが必要十分である。これは

$$ 2\beta-\delta=2\beta $$

すなわち

$$ \delta=0 $$

と同値である。

以上より、数列全体が等差数列であるための必要十分条件は

$$ \alpha=0,\qquad \delta=0 $$

である。

また、第2項以降は等差数列であるが、数列全体は等差数列でないためには、第2項以降が等差数列である条件 $\alpha=0$ に加えて、初項とのつながりが崩れている必要がある。

つまり

$$ \delta\neq 0 $$

である。

したがって、その必要十分条件は

$$ \alpha=0,\qquad \delta\neq 0 $$

である。

解説

この問題では、$S_n$ の定数項 $\delta$ の扱いが重要である。$n\geqq 2$ では $S_n-S_{n-1}$ を取るため $\delta$ は消えるが、初項 $a_1=S_1$ には $\delta$ が残る。

そのため、$\alpha$ は第2項以降が等差数列になるかどうかを決め、$\delta$ は初項がその等差数列に正しく接続するかどうかを決める。

$\beta,\gamma$ は公差や初期値を変えるだけで、等差数列であるかどうかの条件には制限を与えない。

答え

(1)

$$ \alpha=0,\qquad \delta=0 $$

(2)

$$ \alpha=0,\qquad \delta\neq 0 $$