数学B 等差数列･等比数列 問題 13 解説

方針・初手

等比数列の和の公式をそのまま使う。第 $6$ 項までの和は、第 $3$ 項までの和に $1+r^3$ をかけた形になるため、まず公比 $r$ を求める。

解法1

数列 ${a_n}$ の初項を $a$、公比を $r$ とする。

初項から第 $3$ 項までの和は

$$ a(1+r+r^2)=\frac{13}{3} $$

である。また、初項から第 $6$ 項までの和は

$$ a(1+r+r^2+r^3+r^4+r^5)=\frac{364}{3} $$

である。

ここで

$$ 1+r+r^2+r^3+r^4+r^5=(1+r+r^2)(1+r^3) $$

だから、$a(1+r+r^2)\neq 0$ より

$$ 1+r^3=\frac{\frac{364}{3}}{\frac{13}{3}}=28 $$

したがって

$$ r^3=27 $$

より

$$ r=3 $$

である。

これを

$$ a(1+r+r^2)=\frac{13}{3} $$

に代入すると

$$ a(1+3+9)=\frac{13}{3} $$

すなわち

$$ 13a=\frac{13}{3} $$

より

$$ a=\frac{1}{3} $$

である。よって

$$ a_n=\frac{1}{3}\cdot 3^{n-1}=3^{n-2} $$

となる。

次に

$$ b_n=\log_3 a_n $$

とすると、

$$ b_n=\log_3 3^{n-2}=n-2 $$

である。したがって ${b_n}$ は初項

$$ b_1=-1 $$

公差

$$ 1 $$

の等差数列である。

また、

$$ c_n=a_1a_2\cdots a_n $$

とすると、

$$ \log_3 c_n=\log_3(a_1a_2\cdots a_n) $$

であるから、

$$ \log_3 c_n=\log_3 a_1+\log_3 a_2+\cdots+\log_3 a_n $$

となる。すなわち

$$ \log_3 c_n=b_1+b_2+\cdots+b_n $$

である。

$b_k=k-2$ より

$$ \log_3 c_n=\sum_{k=1}^{n}(k-2) $$

である。したがって

$$ \log_3 c_n=\frac{n(n+1)}{2}-2n $$

より

$$ \log_3 c_n=\frac{n(n-3)}{2} $$

である。

最後に、$c_n>10^{10}$ を満たす最小の $n$ を求める。

$$ c_n=3^{\frac{n(n-3)}{2}} $$

だから、

$$ 3^{\frac{n(n-3)}{2}}>10^{10} $$

である。両辺の常用対数をとると、

$$ \frac{n(n-3)}{2}\log_{10}3>10 $$

となる。$\log_{10}3=0.4771$ を用いると、

$$ \frac{n(n-3)}{2}>\frac{10}{0.4771} $$

である。

$$ \frac{10}{0.4771}\fallingdotseq 20.96 $$

だから、

$$ \frac{n(n-3)}{2}\geqq 21 $$

となればよい。

$n=8$ のとき

$$ \frac{8(8-3)}{2}=20 $$

であり、条件を満たさない。

$n=9$ のとき

$$ \frac{9(9-3)}{2}=27 $$

であり、条件を満たす。

よって、$c_n>10^{10}$ を満たす最小の $n$ は

$$ 9 $$

である。

解説

第 $6$ 項までの和を第 $3$ 項までの和で割ると、公比の情報だけが残る点が重要である。

また、積 $c_n=a_1a_2\cdots a_n$ はそのまま扱うより、対数をとって和に直すのが自然である。ここでは $a_n=3^{n-2}$ となるため、$\log_3 c_n$ は等差数列の和に帰着する。

答え

(1)

$$ [①]=\frac{1}{3},\qquad [②]=3 $$

(2)

$$ [③]=-1,\qquad [④]=1 $$

(3)

$$ [⑤]=\frac{n(n-3)}{2},\qquad [⑥]=9 $$