数学B 等差数列･等比数列 問題 14 解説

方針・初手

(1) は等差数列なので、初項と公差を文字でおく。 (2) は等比数列なので、初項と公比を文字でおく。いずれも条件式を一般項の形に代入して、未知数を決定する。

解法1

(1)

等差数列 ${a_n}$ の初項を $a$、公差を $d$ とすると、

$$ a_n=a+(n-1)d $$

である。

条件 $a_1+a_3=3$ より、

$$ a+(a+2d)=3 $$

したがって、

$$ 2a+2d=3 $$

すなわち、

$$ a+d=\frac{3}{2} $$

である。

また、条件 $a_2+a_4=27$ より、

$$ (a+d)+(a+3d)=27 $$

したがって、

$$ 2a+4d=27 $$

すなわち、

$$ a+2d=\frac{27}{2} $$

である。

よって、

$$ (a+2d)-(a+d)=\frac{27}{2}-\frac{3}{2} $$

より、

$$ d=12 $$

である。これを $a+d=\frac{3}{2}$ に代入すると、

$$ a+12=\frac{3}{2} $$

したがって、

$$ a=-\frac{21}{2} $$

である。

よって、

$$ a_n=-\frac{21}{2}+12(n-1) $$

整理して、

$$ a_n=12n-\frac{45}{2} $$

である。

(2)

等比数列 ${b_n}$ の初項を $b$、公比を $r$ とすると、

$$ b_n=br^{n-1} $$

である。

条件 $b_1+b_3=3$ より、

$$ b+br^2=3 $$

したがって、

$$ b(1+r^2)=3 $$

である。

また、条件 $b_2+b_4=27$ より、

$$ br+br^3=27 $$

したがって、

$$ br(1+r^2)=27 $$

である。

ここで $b(1+r^2)=3$ であるから、$b(1+r^2)\neq 0$ である。よって、2つの式を割ることができ、

$$ \frac{br(1+r^2)}{b(1+r^2)}=\frac{27}{3} $$

より、

$$ r=9 $$

である。

これを $b(1+r^2)=3$ に代入すると、

$$ b(1+9^2)=3 $$

すなわち、

$$ 82b=3 $$

であるから、

$$ b=\frac{3}{82} $$

である。

したがって、

$$ b_n=\frac{3}{82}\cdot 9^{n-1} $$

である。

解説

等差数列では、$a_1+a_3$ や $a_2+a_4$ を初項と公差で表すと、未知数が2つの連立一次方程式になる。特に $a_1+a_3=2(a+d)$、$a_2+a_4=2(a+2d)$ と見ると計算が簡単になる。

等比数列では、$b_1+b_3=b(1+r^2)$、$b_2+b_4=br(1+r^2)$ と共通因数が現れる。2つ目の式は1つ目の式の $r$ 倍になっているため、比をとれば公比 $r$ がすぐに求まる。

答え

(1)

$$ a_n=12n-\frac{45}{2} $$

(2)

$$ b_n=\frac{3}{82}\cdot 9^{n-1} $$