数学B 等差数列･等比数列 問題 15 解説

方針・初手

等差数列では、2つの項の差から公差を求めるのが初手である。

第62項と第74項は $12$ 項分離れているので、その差は公差の $12$ 倍である。一般項が分かれば、偶数になる項の条件を $n$ の偶奇で判定できる。

解法1

等差数列の公差を $d$ とする。

第62項が $185$、第74項が $221$ であるから、

$$ a_{74}-a_{62}=221-185=36 $$

である。一方、等差数列では

$$ a_{74}-a_{62}=(74-62)d=12d $$

なので、

$$ 12d=36 $$

より、

$$ d=3 $$

である。

したがって、一般項は

$$ a_n=a_{62}+(n-62)d $$

と表せるから、

$$ a_n=185+3(n-62) $$

である。これを整理すると、

$$ a_n=185+3n-186=3n-1 $$

となる。

よって、求める一般項は

$$ a_n=3n-1 $$

である。

次に、第1項から第99項までのうち、偶数の値をとる項を考える。

$$ a_n=3n-1 $$

が偶数となる条件を調べる。$3$ は奇数なので、$3n$ の偶奇は $n$ の偶奇と同じである。したがって、$3n-1$ が偶数になるのは、$3n$ が奇数、すなわち $n$ が奇数のときである。

よって、偶数の値をとる項は

$$ a_1,a_3,a_5,\ldots,a_{99} $$

である。

これらは $n=1,3,5,\ldots,99$ に対応する。奇数は $1$ から $99$ までに

$$ \frac{99+1}{2}=50 $$

個ある。

最初の項は

$$ a_1=3\cdot1-1=2 $$

であり、最後の項は

$$ a_{99}=3\cdot99-1=296 $$

である。

したがって、求める総和は

$$ \frac{50(2+296)}{2}=25\cdot298=7450 $$

である。

解説

等差数列では、離れた2項の差は「項数の差 $\times$ 公差」になる。この問題では第62項と第74項の差から公差をすぐに求められる。

後半では、実際に偶数の項をすべて並べるのではなく、一般項 $a_n=3n-1$ の偶奇を調べるのが効率的である。$a_n$ が偶数になるのは $n$ が奇数のときなので、第1項から第99項までの奇数番目の項だけを和にすればよい。

答え

(1)

$$ a_n=3n-1 $$

(2)

$$ 7450 $$