数学B 等差数列･等比数列 問題 16 解説

方針・初手

$a,b,c$ は等差数列なので、中央の項を基準にして $a=b-d,\ c=b+d$ とおくのが自然である。公差が正であるから $d>0$ である。

解法1

$a,b,c$ は等差数列で、公差を $d$ とすると、

$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$

と表せる。ただし、公差は正なので $d>0$ である。

まず、和の条件 $a+b+c=45$ を用いると、

$$ (b-d)+b+(b+d)=45 $$

より、

$$ 3b=45 $$

したがって、

$$ b=15 $$

である。

次に、積の条件 $abc=3135$ を用いる。$a=15-d,\ c=15+d$ であるから、

$$ (15-d)\cdot 15\cdot (15+d)=3135 $$

となる。ここで $(15-d)(15+d)=225-d^2$ より、

$$ 15(225-d^2)=3135 $$

両辺を $15$ で割ると、

$$ 225-d^2=209 $$

したがって、

$$ d^2=16 $$

である。$d>0$ なので、

$$ d=4 $$

よって、

$$ a=15-4=11,\qquad b=15,\qquad c=15+4=19 $$

となる。

解説

等差数列の3項を扱うときは、中央の項を $b$、公差を $d$ として $b-d,\ b,\ b+d$ とおくと、和の条件がすぐに整理できる。

この問題では $a+b+c=45$ から中央の項 $b$ が直ちに求まり、その後に積の条件を使えば公差 $d$ が決まる。公差が正であるという条件により、$d=-4$ ではなく $d=4$ を選ぶ点に注意する。

答え

$$ a=11,\qquad b=15,\qquad c=19 $$