数学B 等差数列･等比数列 問題 17 解説

方針・初手

条件を満たす自然数を等差数列として並べ、初項・末項・項数を求めて和の公式を用いる。

(3) は「4で割ると3余る」と「5で割ると4余る」を同時に満たす数なので、合同式で整理して、公差 $20$ の等差数列に直す。

解法1

(1) 4で割ると3余る数は

$$ 3,\ 7,\ 11,\ \cdots,\ 199 $$

である。これは初項 $3$、公差 $4$ の等差数列である。

末項は $199$ であり、

$$ 199=3+4(n-1) $$

より、

$$ 4(n-1)=196 $$

だから、

$$ n=50 $$

である。したがって、

$$ S_1=\frac{50(3+199)}{2}=25\cdot 202=5050 $$

である。

(2) 5で割ると4余る数は

$$ 4,\ 9,\ 14,\ \cdots,\ 199 $$

である。これは初項 $4$、公差 $5$ の等差数列である。

末項は $199$ であり、

$$ 199=4+5(n-1) $$

より、

$$ 5(n-1)=195 $$

だから、

$$ n=40 $$

である。したがって、

$$ S_2=\frac{40(4+199)}{2}=20\cdot 203=4060 $$

である。

(3) 条件を満たす数を $x$ とすると、

$$ x\equiv 3 \pmod{4},\qquad x\equiv 4 \pmod{5} $$

である。

$x\equiv 3 \pmod{4}$ より、

$$ x=4k+3 $$

とおける。これを $x\equiv 4 \pmod{5}$ に代入すると、

$$ 4k+3\equiv 4 \pmod{5} $$

であるから、

$$ 4k\equiv 1 \pmod{5} $$

となる。ここで $4\equiv -1 \pmod{5}$ より、

$$ -k\equiv 1 \pmod{5} $$

すなわち、

$$ k\equiv 4 \pmod{5} $$

である。

よって $k=5m+4$ とおけるので、

$$ x=4(5m+4)+3=20m+19 $$

となる。したがって条件を満たす数は

$$ 19,\ 39,\ 59,\ \cdots,\ 199 $$

である。

これは初項 $19$、公差 $20$ の等差数列である。末項は $199$ であり、

$$ 199=19+20(n-1) $$

より、

$$ 20(n-1)=180 $$

だから、

$$ n=10 $$

である。したがって、

$$ S_3=\frac{10(19+199)}{2}=5\cdot 218=1090 $$

である。

解説

剰余の条件は、該当する数を等差数列として並べるのが基本である。

(1)、(2) は初項と公差がそのまま読み取れるため、末項と項数を確認して和を求めればよい。

(3) は2つの条件を同時に満たす数を求める必要がある。単に $S_1$ と $S_2$ を使って計算するのではなく、共通して現れる数を合同式で求めるのが安全である。実際、条件を満たす数は $20$ ごとに現れ、$19,39,59,\ldots,199$ となる。

答え

(1)

$$ S_1=5050 $$

(2)

$$ S_2=4060 $$

(3)

$$ S_3=1090 $$