数学B 等差数列･等比数列 問題 18 解説

方針・初手

等差数列の一般項を

$$ a_n=a_1+(n-1)d $$

とおく。まず

$$ a_2+a_4+a_6=468,\qquad a_3+a_7=296 $$

から $a_1,d$ を決める。

その後、初項から第 $n$ 項までの和

$$ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n $$

を $n$ の式で表し、最大値と $|S_n|$ の最小値を調べる。

解法1

等差数列の一般項を

$$ a_n=a_1+(n-1)d $$

とする。

条件

$$ a_2+a_4+a_6=468 $$

より、

$$ (a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)=468 $$

したがって

$$ 3a_1+9d=468 $$

である。

また、

$$ a_3+a_7=296 $$

より、

$$ (a_1+2d)+(a_1+6d)=296 $$

したがって

$$ 2a_1+8d=296 $$

である。

前者を

$$ a_1+3d=156 $$

後者を

$$ a_1+4d=148 $$

と書くと、両式の差から

$$ d=-8 $$

となる。

これを $a_1+3d=156$ に代入して

$$ a_1=180 $$

を得る。

よって一般項は

$$ a_n=180+(n-1)(-8)=188-8n $$

である。

次に、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、

$$ S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{n}{2}\{180+(188-8n)\}\\ &=\frac{n}{2}(368-8n)\\ &=4n(46-n) \end{aligned} $$

となる。

これは

$$ S_n=-4n^2+184n $$

という下に凸の2次式であり、軸は

$$ n=\frac{184}{8}=23 $$

である。

したがって、$S_n$ の最大値は

$$ S_{23}=4\cdot 23\cdot(46-23)=2116 $$

であり、そのとき

$$ n=23 $$

である。

最後に、$|S_n|$ の最小値を求める。

$$ S_n=4n(46-n) $$

であるから、$n$ が自然数なら

$$ S_n=0 $$

となるのは

$$ n=46 $$

のときである。

よって

$$ |S_n| $$

の最小値は

$$ 0 $$

であり、そのとき

$$ n=46 $$

である。

解説

この問題で重要なのは、添字が $1$ 始まりであることを崩さないことだ。画像条件は

$$ a_2+a_4+a_6,\qquad a_3+a_7 $$

であり、$a_0$ は出てこない。ここを取り違えると一般項も和も全部ずれる。

和 $S_n$ は一般項を求めた後に

$$ S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n) $$

とすればすぐに2次式になる。最大値は放物線の頂点、$|S_n|$ の最小値は $S_n=0$ となる点を見ればよい。

答え

(1)

$$ a_n=188-8n $$

(2)

$$ S_n \text{ の最大値は }2116 $$

そのとき

$$ n=23 $$

(3)

$$ |S_n| \text{ の最小値は }0 $$

そのとき

$$ n=46 $$