数学B 等差数列･等比数列 問題 19 解説

方針・初手

$a,b,c$ がこの順で等差数列をなすので、

$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$

とおくのが自然である。ただし $d\neq 0$ である。

さらに、$a,c,b$ がこの順で等比数列をなすから

$$ c^2=ab $$

が成り立つ。これと

$$ abc=27 $$

を組み合わせて $b,d$ を決める。

解法1

$a,b,c$ がこの順で等差数列をなすから、

$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$

と表せる。

また、$a,c,b$ がこの順で等比数列をなすから、

$$ c^2=ab $$

である。

ここに

$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$

を代入すると、

$$ (b+d)^2=b(b-d) $$

となる。

これを整理して

$$ b^2+2bd+d^2=b^2-bd $$

すなわち

$$ d(3b+d)=0 $$

を得る。

$a,b,c$ は異なる3つの実数なので $d\neq 0$ である。したがって

$$ d=-3b $$

である。

よって

$$ a=b-(-3b)=4b,\qquad c=b+(-3b)=-2b $$

となる。

ここで条件

$$ abc=27 $$

を用いると、

$$ (4b)\cdot b\cdot(-2b)=27 $$

より

$$ -8b^3=27 $$

となるので、

$$ b=-\frac{3}{2} $$

である。

したがって

$$ a=4b=-6,\qquad c=-2b=3 $$

となる。

解説

この問題の誤りやすい点は、積の条件が

$$ ab=27 $$

ではなく

$$ abc=27 $$

であることだ。ここを2項の積にすり替えると、$c^2=27$ と誤って進んでしまい、答え全体が崩れる。

等差数列は

$$ a=b-d,\qquad c=b+d $$

と置くと処理が一気に軽くなる。等比条件 $c^2=ab$ を代入すると $d=-3b$ が出て、最後は積条件で $b$ が一意に定まる。

答え

$$ (a,b,c)=\left(-6,-\frac{3}{2},3\right) $$