数学B 等差数列･等比数列 問題 20 解説

方針・初手

初項を $a$、公比を $r$ とおく。公比は負であるから $r<0$ である。

初項から第 $4$ 項までの和と、第 $5$ 項・第 $6$ 項の和を、それぞれ $a,r$ で表して連立する。特に、共通因数 $a(1+r)$ に注目して割るのが自然である。

解法1

初項を $a$、公比を $r$ とすると、数列の第 $n$ 項は $ar^{n-1}$ である。

初項から第 $4$ 項までの和は

$$ a+ar+ar^2+ar^3=a(1+r+r^2+r^3) $$

である。ここで

$$ 1+r+r^2+r^3=(1+r)(1+r^2) $$

だから、条件より

$$ a(1+r)(1+r^2)=-15 $$

である。

また、第 $5$ 項と第 $6$ 項の和は

$$ ar^4+ar^5=ar^4(1+r) $$

であるから、

$$ ar^4(1+r)=-48 $$

である。

ここで $r=-1$ とすると、初項から第 $4$ 項までの和は

$$ a-a+a-a=0 $$

となり、条件 $-15$ に反する。したがって $1+r\neq 0$ であり、上の2式を割ることができる。

$$ \begin{aligned} \frac{ar^4(1+r)}{a(1+r)(1+r^2)} &= \frac{-48}{-15} \end{aligned} $$

より、

$$ \frac{r^4}{1+r^2}=\frac{16}{5} $$

である。両辺を整理すると、

$$ 5r^4=16(1+r^2) $$

すなわち

$$ 5r^4-16r^2-16=0 $$

となる。

ここで $x=r^2$ とおくと、$x\geqq 0$ であり、

$$ 5x^2-16x-16=0 $$

を得る。これを解くと、

$$ x=\frac{16\pm\sqrt{16^2+4\cdot5\cdot16}}{10} =\frac{16\pm24}{10} $$

であるから、

$$ x=4,\quad -\frac45 $$

となる。$x=r^2\geqq 0$ より、

$$ r^2=4 $$

である。

公比は負の数なので、

$$ r=-2 $$

である。

これを

$$ ar^4(1+r)=-48 $$

に代入すると、

$$ a\cdot16\cdot(-1)=-48 $$

より、

$$ a=3 $$

である。

実際に確認すると、

$$ 3+3(-2)+3(-2)^2+3(-2)^3 =3-6+12-24=-15 $$

であり、

$$ 3(-2)^4+3(-2)^5=48-96=-48 $$

となるので、条件を満たす。

解説

この問題では、等比数列の和を公式で処理するよりも、初項から第 $4$ 項までをそのまま

$$ a(1+r+r^2+r^3) $$

と表し、

$$ 1+r+r^2+r^3=(1+r)(1+r^2) $$

と因数分解するのが有効である。

第 $5$ 項と第 $6$ 項の和も

$$ ar^4(1+r) $$

と表せるため、2つの条件に共通して現れる $a(1+r)$ を消去できる。ただし、$1+r=0$、つまり $r=-1$ の場合は割る前に除外する必要がある。この確認を省くと、割り算の正当性が不足する。

また、途中で $r^2$ についての2次方程式になるが、最後に「公比が負の数」という条件を使って $r=-2$ を選ぶ点が重要である。

答え

初項は

$$ 3 $$

公比は

$$ -2 $$