数学B 等差数列･等比数列 問題 21 解説

方針・初手

連続する自然数の和を扱うため、連続する $k$ 個の自然数を

$$ a,\ a+1,\ a+2,\ \ldots,\ a+k-1 $$

とおく。ここで $a\geqq 1,\ k\geqq 2$ である。このとき和は

$$ \frac{k(2a+k-1)}{2} $$

となる。この形を使って、和として表せる場合と表せない場合を判定する。

解法1

(1)

$10$ から $15$ までは、次のように表せる。

$$ 10=1+2+3+4 $$

$$ 11=5+6 $$

$$ 12=3+4+5 $$

$$ 13=6+7 $$

$$ 14=2+3+4+5 $$

$$ 15=4+5+6 $$

いずれも連続した $2$ 個以上の自然数の和で表されている。

(2)

自然数 $n$ が $2$ の累乗でないとする。このとき、問題文の条件より

$$ n=2^m(2l+1) $$

と表される。ただし $m,l$ は整数で、$m\geqq 0,\ l\geqq 1$ である。

ここで

$$ q=2l+1 $$

とおくと、$q$ は $3$ 以上の奇数であり、

$$ n=2^m q $$

である。

$q$ と $2^{m+1}$ の大小で場合分けする。

(i)

$q<2^{m+1}$ のとき

$q$ は奇数で $2^{m+1}$ は偶数だから、実際には

$$ q\leqq 2^{m+1}-1 $$

である。

このとき

$$ a=\frac{2^{m+1}-q+1}{2} $$

とおく。右辺は整数であり、また $q\leqq 2^{m+1}-1$ より

$$ a\geqq 1 $$

である。

そこで、$a$ から始まる $q$ 個の連続する自然数の和を考えると、

$$ \begin{aligned} a+(a+1)+\cdots+(a+q-1) &=\frac{q(2a+q-1)}{2} \\ &=\frac{q\left(2^{m+1}-q+1+q-1\right)}{2} \\ &=\frac{q\cdot 2^{m+1}}{2} \\ &=2^m q \\ &=n \end{aligned} $$

となる。

よって、この場合 $n$ は連続した $q$ 個の自然数の和で表される。

(ii)

$q>2^{m+1}$ のとき

$q$ は奇数で $2^{m+1}$ は偶数だから、実際には

$$ q\geqq 2^{m+1}+1 $$

である。

このとき

$$ a=\frac{q-2^{m+1}+1}{2} $$

とおく。右辺は整数であり、また $q\geqq 2^{m+1}+1$ より

$$ a\geqq 1 $$

である。

そこで、$a$ から始まる $2^{m+1}$ 個の連続する自然数の和を考えると、

$$ \begin{aligned} a+(a+1)+\cdots+\left(a+2^{m+1}-1\right) &=\frac{2^{m+1}\left(2a+2^{m+1}-1\right)}{2} \\ &=2^m\left(q-2^{m+1}+1+2^{m+1}-1\right) \\ &=2^m q \\ &=n \end{aligned} $$

となる。

よって、この場合 $n$ は連続した $2^{m+1}$ 個の自然数の和で表される。

以上より、$n$ が $2$ の累乗でなければ、$n$ は連続した $2$ 個以上の自然数の和として表される。

(3)

$n$ が $2$ の累乗であるとし、

$$ n=2^m \qquad (m\geqq 1) $$

とする。

これが連続した $2$ 個以上の自然数の和として表されると仮定する。すなわち、ある自然数 $a$ と整数 $k\geqq 2$ を用いて

$$ 2^m=a+(a+1)+\cdots+(a+k-1) $$

と表せるとする。

和の公式より

$$ 2^m=\frac{k(2a+k-1)}{2} $$

であるから、

$$ 2^{m+1}=k(2a+k-1) $$

となる。

ここで、$k$ と $2a+k-1$ の偶奇を調べる。

$k$ が偶数なら、$2a+k-1$ は奇数である。また $a\geqq 1,\ k\geqq 2$ より

$$ 2a+k-1\geqq 3 $$

である。したがって右辺は $3$ 以上の奇数因数をもつが、左辺 $2^{m+1}$ は $2$ の累乗なので、そのような奇数因数をもたない。これは矛盾である。

一方、$k$ が奇数なら、$k\geqq 3$ である。したがって右辺は $3$ 以上の奇数因数 $k$ をもつが、左辺 $2^{m+1}$ は $2$ の累乗なので、そのような奇数因数をもたない。これも矛盾である。

したがって、$2^m$ は連続した $2$ 個以上の自然数の和として表されない。

解説

連続する自然数の和は、個数 $k$ と初項 $a$ を使って

$$ \frac{k(2a+k-1)}{2} $$

と表せる。この問題では、$n$ をこの形にできるかどうかが本質である。

$2$ の累乗でない数は、必ず $2^m$ と $3$ 以上の奇数 $q$ の積

$$ n=2^m q $$

に分解できる。奇数 $q$ を連続する個数に使うか、$2^{m+1}$ を連続する個数に使うかを、$q$ と $2^{m+1}$ の大小で分けると、初項が自然数になるように調整できる。

一方、$2$ の累乗を連続する自然数の和にできると仮定すると、

$$ 2^{m+1}=k(2a+k-1) $$

となる。この右辺には必ず $1$ より大きい奇数因数が現れるが、$2$ の累乗にはそのような奇数因数が存在しない。ここが不可能性の核心である。

答え

(1)

$$ 10=1+2+3+4 $$

$$ 11=5+6 $$

$$ 12=3+4+5 $$

$$ 13=6+7 $$

$$ 14=2+3+4+5 $$

$$ 15=4+5+6 $$

(2)

$n$ が $2$ の累乗でなければ、$n$ は連続した $2$ 個以上の自然数の和として表される。

(3)

$n$ が $2$ の累乗ならば、$n$ は連続した $2$ 個以上の自然数の和として表されない。