数学B 等差数列･等比数列 問題 22 解説

方針・初手

等差数列の第 $k$ 項を具体的に表し、第 $n$ 項までの和の公式に代入する。和が $n^m$ であることから $p$ を求め、最後にその式の偶奇を調べる。

解法1

公差が $2$、初項が $p$ であるから、第 $k$ 項は

$$ a_k=p+2(k-1) $$

である。

したがって、第 $n$ 項までの和は

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} a_k &=\frac{n}{2}{2p+(n-1)\cdot 2} \\ &=n(p+n-1) \end{aligned} $$

である。

これが $n^m$ に等しいので、

$$ n(p+n-1)=n^m $$

となる。$n$ は正の整数であるから、両辺を $n$ で割って

$$ p+n-1=n^{m-1} $$

を得る。よって

$$ p=n^{m-1}-n+1 $$

である。

次に、この $p$ が奇数であることを示す。

$n$ が偶数のとき、$n^{m-1}$ も偶数であるから、

$$ n^{m-1}-n $$

は偶数である。よって

$$ p=n^{m-1}-n+1 $$

は奇数である。

$n$ が奇数のとき、$n^{m-1}$ も奇数であるから、

$$ n^{m-1}-n $$

は偶数である。よって、この場合も

$$ p=n^{m-1}-n+1 $$

は奇数である。

以上より、$n$ の偶奇によらず、$p$ は奇数である。

解説

この問題の中心は、等差数列の和を

$$ \frac{n}{2}{2a_1+(n-1)d} $$

として処理することである。公差が $2$ なので、和は特に簡単に

$$ n(p+n-1) $$

となる。

偶奇の証明では、$n^{m-1}$ と $n$ が常に同じ偶奇であることを見るのが本質である。そのため、$n^{m-1}-n$ は常に偶数となり、それに $1$ を加えた $p$ は奇数になる。

答え

(1)

$$ p=n^{m-1}-n+1 $$

(2)

$n^{m-1}$ と $n$ は同じ偶奇であるから、$n^{m-1}-n$ は偶数である。したがって

$$ p=n^{m-1}-n+1 $$

は奇数である。