数学B 群数列 問題 3 解説

方針・初手

この数列は、分母ごとにまとまって並んでいる。

分母が $n$ の部分は

$$ \frac{1}{n},\frac{2}{n},\cdots,\frac{n}{n} $$

の $n$ 個である。したがって、第何項かを考えるには、各群の項数

$$ 1,2,3,\cdots,n $$

の和を使えばよい。

解法1

分母が $n$ の項までに現れる項数は

$$ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

である。

(1)

$\dfrac{99}{100}$ は既約分数である。したがって、これと同じ値をもつ分数 $\dfrac{k}{m}$ が現れるには、分母 $m$ は $100$ の倍数でなければならない。

よって、$\dfrac{99}{100}$ が初めて現れるのは、分母が $100$ の群の中である。

分母が $99$ までの項数は

$$ 1+2+\cdots+99=\frac{99\cdot 100}{2}=4950 $$

である。

分母が $100$ の群は

$$ \frac{1}{100},\frac{2}{100},\cdots,\frac{99}{100},\frac{100}{100} $$

であり、$\dfrac{99}{100}$ はこの群の $99$ 番目である。

したがって、求める項番号は

$$ 4950+99=5049 $$

である。

よって、$\dfrac{99}{100}$ が初めて現れるのは第 $5049$ 項である。

(2)

第 $2005$ 項がどの分母の群に入るかを調べる。

分母が $62$ までの項数は

$$ \frac{62\cdot 63}{2}=1953 $$

である。

また、分母が $63$ までの項数は

$$ \frac{63\cdot 64}{2}=2016 $$

である。

したがって、

$$ 1953<2005\leqq 2016 $$

より、第 $2005$ 項は分母が $63$ の群にある。

分母が $63$ の群の中で何番目かを求めると、

$$ 2005-1953=52 $$

である。

よって、第 $2005$ 項は

$$ \frac{52}{63} $$

である。

解説

この問題では、数列を「分母ごとの群」に分けることが重要である。分母が $n$ の群には $n$ 個の項があるため、累計項数は三角数

$$ \frac{n(n+1)}{2} $$

で管理できる。

(1) では、$\dfrac{99}{100}$ が既約分数であることに注意する。単に分母 $100$ の中を探すだけでなく、それより前に同じ値が出ない理由を確認する必要がある。

(2) では、$2005$ がどの三角数の間に入るかを調べれば、分母と分子が決まる。

答え

(1)

第 $5049$ 項

(2)

$$ \frac{52}{63} $$