数学B 群数列 問題 4 解説

方針・初手

この数列は、分母ごとに区切ると規則が見える。

分母が $m$ の部分は

$$ \frac{1}{m},\frac{2}{m},\cdots,\frac{m-1}{m} $$

であり、項数は $m-1$ 個である。したがって、分母 $2$ から分母 $m$ までに現れる項数は

$$ 1+2+\cdots+(m-1)=\frac{m(m-1)}{2} $$

である。

解法1

分母が $m$ の部分までの項数は

$$ \sum_{r=2}^{m}(r-1)=1+2+\cdots+(m-1)=\frac{m(m-1)}{2} $$

である。

(1)

$\dfrac{37}{50}$ は、分母 $50$ の部分

$$ \frac{1}{50},\frac{2}{50},\cdots,\frac{49}{50} $$

の中の $37$ 番目である。

分母 $49$ までに現れる項数は

$$ \frac{49\cdot48}{2}=1176 $$

であるから、$\dfrac{37}{50}$ は全体では

$$ 1176+37=1213 $$

番目である。

したがって、$\dfrac{37}{50}$ は第 $1213$ 項である。

(2)

第 $1000$ 項がどの分母の部分に入るかを調べる。

分母 $45$ までの項数は

$$ \frac{45\cdot44}{2}=990 $$

である。

また、分母 $46$ までの項数は

$$ \frac{46\cdot45}{2}=1035 $$

である。

よって、第 $1000$ 項は分母 $46$ の部分に入る。分母 $45$ までに $990$ 項あるので、第 $1000$ 項は分母 $46$ の部分の

$$ 1000-990=10 $$

番目である。

したがって、第 $1000$ 項は

$$ \frac{10}{46}=\frac{5}{23} $$

である。

なお、数列の表示の規則に従えば $\dfrac{10}{46}$ であり、有理数として簡単にすれば $\dfrac{5}{23}$ である。

(3)

まず、分母 $m$ の部分の和を求める。

$$ \frac{1}{m}+\frac{2}{m}+\cdots+\frac{m-1}{m} =\frac{1+2+\cdots+(m-1)}{m} $$

ここで

$$ 1+2+\cdots+(m-1)=\frac{m(m-1)}{2} $$

であるから、分母 $m$ の部分の和は

$$ \frac{1}{m}\cdot\frac{m(m-1)}{2} =\frac{m-1}{2} $$

である。

第 $1000$ 項までは、分母 $45$ までのすべての項と、分母 $46$ の部分の最初の $10$ 項である。

分母 $2$ から分母 $45$ までの和は

$$ \sum_{m=2}^{45}\frac{m-1}{2} =\frac{1}{2}(1+2+\cdots+44) $$

である。

よって

$$ \frac{1}{2}\cdot\frac{44\cdot45}{2}=495 $$

である。

次に、分母 $46$ の部分の最初の $10$ 項の和は

$$ \frac{1}{46}+\frac{2}{46}+\cdots+\frac{10}{46} =\frac{1+2+\cdots+10}{46} =\frac{55}{46} $$

である。

したがって、初項から第 $1000$ 項までの和は

$$ 495+\frac{55}{46} =\frac{22770+55}{46} =\frac{22825}{46} $$

である。

解説

この問題では、数列を一列に並んだまま見るのではなく、分母ごとのまとまりとして見ることが重要である。

分母 $m$ の部分には $m-1$ 個の項があり、その部分の和は $\dfrac{m-1}{2}$ になる。この2つを使えば、項番号の問題も和の問題も処理できる。

第 $1000$ 項については、分母 $45$ までで $990$ 項、分母 $46$ までで $1035$ 項となるため、分母 $46$ の部分に入ると判断する。

答え

(1)

第 $1213$ 項

(2)

第 $1000$ 項は、表示の規則では

$$ \frac{10}{46} $$

有理数として簡単にすれば

$$ \frac{5}{23} $$

(3)

初項から第 $1000$ 項までの和は

$$ \frac{22825}{46} $$