数学B 群数列 問題 5 解説

方針・初手

第 $m$ 群の位置を調べるには、それ以前の群に含まれる項数を数えればよい。

第 $1$ 群から第 $m-1$ 群までの項数の合計は

$$ 2+2^2+\cdots+2^{m-1} $$

であるから、第 $m$ 群の先頭と最後が数列 ${a_n}$ の何番目に当たるかを求める。

解法1

第 $m$ 群に入る前まで、すなわち第 $1$ 群から第 $m-1$ 群までに含まれる項数は

$$ 2+2^2+\cdots+2^{m-1}=2^m-2 $$

である。

したがって、第 $m$ 群の先頭は

$$ a_{2^m-1} $$

であり、第 $m$ 群には $2^m$ 個の項があるので、最後の項は

$$ a_{(2^m-1)+(2^m-1)}=a_{2^{m+1}-2} $$

である。

$a_n=2n-1$ より、第 $m$ 群の最後の項は

$$ a_{2^{m+1}-2} =2(2^{m+1}-2)-1 =2^{m+2}-5 $$

である。

次に、第 $m$ 群に含まれる項の総和を求める。

第 $m$ 群は

$$ a_{2^m-1},a_{2^m},\ldots,a_{2^{m+1}-2} $$

である。奇数列の初めから第 $N$ 項までの和は

$$ 1+3+5+\cdots+(2N-1)=N^2 $$

であるから、第 $m$ 群の総和は

$$ (2^{m+1}-2)^2-(2^m-2)^2 $$

である。

これを整理すると

$$ \begin{aligned} (2^{m+1}-2)^2-(2^m-2)^2 &=\{(2^{m+1}-2)-(2^m-2)\}\{(2^{m+1}-2)+(2^m-2)\}\\ &=2^m(3\cdot 2^m-4)\\ &=3\cdot 4^m-2^{m+2} \end{aligned} $$

となる。

最後に、$2003$ がどの群の何番目かを調べる。

$$ 2003=2n-1 $$

とおくと、

$$ 2n=2004 $$

より

$$ n=1002 $$

である。つまり $2003$ は数列 ${a_n}$ の第 $1002$ 項である。

第 $k$ 群は

$$ a_{2^k-1},a_{2^k},\ldots,a_{2^{k+1}-2} $$

であるから、

$$ 2^k-1\leq 1002\leq 2^{k+1}-2 $$

を満たす $k$ を求めればよい。

$$ 2^9=512,\qquad 2^{10}=1024 $$

より、第 $9$ 群は

$$ a_{511},a_{512},\ldots,a_{1022} $$

である。したがって、$a_{1002}=2003$ は第 $9$ 群に含まれる。

第 $9$ 群の先頭は $a_{511}$ であるから、$a_{1002}$ は先頭から

$$ 1002-511+1=492 $$

番目である。

よって

$$ k=9,\qquad j=492 $$

である。

解説

この問題では、数列そのものよりも「群に分けたときの項番号」を正確に追うことが重要である。

第 $m$ 群の直前までに何個の項があるかを数えると、第 $m$ 群の先頭と最後の項番号が決まる。そこから $a_n=2n-1$ を使えば、最後の項や群の総和を求められる。

また、$2003$ が何番目の項かを先に求めると、群の範囲との比較だけで $k$ と $j$ が決まる。値そのものだけを見て判断しようとするとずれやすいので、必ず項番号に直すのが安全である。

答え

(1)

第 $m$ 群の最後の項は

$$ 2^{m+2}-5 $$

である。

(2)

第 $m$ 群に含まれる項の総和は

$$ 3\cdot 4^m-2^{m+2} $$

である。

(3)

$$ k=9,\qquad j=492 $$

である。