数学B 群数列 問題 6 解説

方針・初手

第 $n$ 群には $2n$ 個の整数が入るので、第 $n$ 群までに並ぶ整数の個数を数える。整数は $1$ から順に並んでいるため、第 $n$ 群の最後の数は「第 $n$ 群までに含まれる整数の個数」と一致する。

解法1

第 $1$ 群から第 $n$ 群までに含まれる整数の個数は

$$ 2+4+6+\cdots+2n=2(1+2+\cdots+n)=n(n+1) $$

である。

したがって、第 $n$ 群の最後の数は

$$ n(n+1) $$

である。

特に、第 $10$ 群の最後の数は

$$ 10\cdot 11=110 $$

である。

次に、$2010$ が第 $p$ 群に含まれる条件を考える。第 $p$ 群の直前までに含まれる整数の個数は

$$ 2+4+\cdots+2(p-1)=p(p-1) $$

である。

したがって、第 $p$ 群は

$$ p(p-1)+1 $$

から

$$ p(p+1) $$

までの整数を含む。よって

$$ p(p-1)<2010\leq p(p+1) $$

を満たす $p$ を求めればよい。

実際に

$$ 44\cdot 45=1980,\qquad 45\cdot 46=2070 $$

であるから、

$$ 45\cdot 44<2010\leq 45\cdot 46 $$

より、

$$ p=45 $$

である。

第 $45$ 群の直前までの最後の数は $45\cdot 44=1980$ なので、$2010$ は第 $45$ 群の

$$ 2010-1980=30 $$

番目の数である。したがって

$$ p=45,\qquad q=30 $$

である。

次に、第 $n$ 群の最初の数を求める。第 $n$ 群の直前までの最後の数は

$$ (n-1)n $$

であるから、第 $n$ 群の最初の数は

$$ n(n-1)+1=n^2-n+1 $$

である。

第 $n$ 群は

$$ n^2-n+1,\ n^2-n+2,\ \ldots,\ n^2+n $$

という $2n$ 個の連続する整数からなる。

したがって、第 $n$ 群に含まれるすべての数の和 $S_n$ は、初項 $n^2-n+1$、末項 $n^2+n$、項数 $2n$ の等差数列の和であるから、

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{2n\{(n^2-n+1)+(n^2+n)\}}{2} \\ &=n(2n^2+1) \\ &=2n^3+n \end{aligned} $$

である。

最後に、第 $n$ 群に含まれる奇数の和 $T_n$ を求める。

第 $n$ 群の最初の数は

$$ n^2-n+1=n(n-1)+1 $$

である。ここで $n(n-1)$ は連続する $2$ 整数の積なので偶数である。したがって、第 $n$ 群の最初の数 $n^2-n+1$ は奇数である。

第 $n$ 群には $2n$ 個の連続する整数があり、最初が奇数であるから、奇数は

$$ n^2-n+1,\ n^2-n+3,\ \ldots,\ n^2-n+2n-1 $$

の $n$ 個である。

よって

$$ \begin{aligned} T_n &=\frac{n\{(n^2-n+1)+(n^2-n+2n-1)\}}{2} \\ &=\frac{n(2n^2)}{2} \\ &=n^3 \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \frac{S_n}{T_n} =\frac{2n^3+n}{n^3} =2+\frac{1}{n^2} $$

となるので、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{T_n}=2 $$

である。

解説

この問題では、各群の具体的な中身を書き出すよりも、「第 $n$ 群までに何個の数が並んでいるか」を数えるのが基本である。正の整数が $1$ から順に並んでいるため、累積個数がそのまま各群の最後の数になる。

第 $n$ 群の最初の数は、前の群までの最後の数に $1$ を加えればよい。そこから、第 $n$ 群全体は連続する $2n$ 個の整数として扱えるので、和は等差数列の和で処理できる。

また、第 $n$ 群の最初の数 $n^2-n+1$ が常に奇数であることに気づくと、奇数の和 $T_n$ はきれいに $n^3$ と求まる。

答え

(1)

第 $10$ 群の最後の数は

$$ 110 $$

一般に、第 $n$ 群の最後の数は

$$ n(n+1) $$

である。

(2)

$$ p=45,\qquad q=30 $$

(3)

第 $n$ 群の最初の数は

$$ n^2-n+1 $$

第 $n$ 群に含まれるすべての数の和は

$$ S_n=2n^3+n $$

である。

(4)

第 $n$ 群に含まれるすべての奇数の和は

$$ T_n=n^3 $$

また、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{T_n}=2 $$