数学B 群数列 問題 7 解説

方針・初手

各群の個数は $3,5,7,\cdots$ であり，第 $n$ 群には $2n+1$ 個の自然数が入っている。

第 $n$ 群の最初の数は，それ以前の群に含まれる個数を数えれば求められる。また，$\lfloor \sqrt{k}\rfloor$ は

$$ 1,1,1,2,2,2,2,2,3,\cdots $$

のように，同じ値が $3,5,7,\cdots$ 個ずつ並ぶことに着目する。

解法1

第 $n$ 群には $2n+1$ 個の自然数が含まれる。

第 $n$ 群より前にある自然数の個数は

$$ \sum_{j=1}^{n-1}(2j+1) =2\cdot \frac{(n-1)n}{2}+(n-1) =n^2-1 $$

である。

したがって，第 $n$ 群の最初の自然数は

$$ n^2 $$

である。

また，第 $n$ 群には $2n+1$ 個の自然数が含まれるので，最後の自然数は

$$ n^2+(2n+1)-1=n^2+2n $$

である。

よって，①，②はそれぞれ

$$ ①=n^2,\qquad ②=n^2+2n $$

である。

次に，第 $n$ 群に含まれるすべての数の和を $S_n$ とする。第 $n$ 群は初項 $n^2$，末項 $n^2+2n$，項数 $2n+1$ の等差数列であるから，

$$ \begin{aligned} S_n &=\frac{(2n+1)\{n^2+(n^2+2n)\}}{2}\\ &=\frac{(2n+1)(2n^2+2n)}{2}\\ &=n(n+1)(2n+1) \end{aligned} $$

である。

したがって，

$$ ③=n(n+1)(2n+1) $$

である。

不等式

$$ \frac{S_{n+1}}{S_n}<\frac{3}{2} $$

を考える。

$$ \begin{aligned} \frac{S_{n+1}}{S_n} &=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{n(n+1)(2n+1)}\\ &=\frac{(n+2)(2n+3)}{n(2n+1)} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \frac{(n+2)(2n+3)}{n(2n+1)}<\frac{3}{2} $$

を解く。

両辺の分母は正なので，

$$ 2(n+2)(2n+3)<3n(2n+1) $$

である。これを整理すると，

$$ \begin{aligned} 2(2n^2+7n+6)&<6n^2+3n\\ 4n^2+14n+12&<6n^2+3n\\ 0&<2n^2-11n-12 \end{aligned} $$

となる。

$$ 2n^2-11n-12=0 $$

の正の解は

$$ n=\frac{11+\sqrt{217}}{4} $$

であり，

$$ 6<\frac{11+\sqrt{217}}{4}<7 $$

である。よって，不等式を満たす最小の自然数 $n$ は

$$ 7 $$

である。

したがって，

$$ ④=7 $$

である。

次に，$2014$ が第何群の何番目にあるかを求める。

第 $n$ 群は

$$ n^2,\ n^2+1,\ \cdots,\ n^2+2n $$

である。これは

$$ n^2\leq 2014 \leq n^2+2n $$

を満たす $n$ を求めればよい。

ここで，

$$ 44^2=1936,\qquad 45^2=2025 $$

であるから，

$$ 44^2\leq 2014<45^2 $$

である。したがって，$2014$ は第 $44$ 群にある。

第 $44$ 群の最初の数は

$$ 44^2=1936 $$

であるから，$2014$ は第 $44$ 群の

$$ 2014-1936+1=79 $$

番目である。

よって，

$$ ⑤=44,\qquad ⑥=79 $$

である。

最後に，$a_k$ を $\sqrt{k}$ の整数部分とする。

$$ a_k=\lfloor \sqrt{k}\rfloor $$

であるから，

$$ a_8=\lfloor \sqrt{8}\rfloor=2 $$

である。したがって，

$$ ⑦=2 $$

である。

また，$\lfloor \sqrt{k}\rfloor=m$ となるのは

$$ m^2\leq k <(m+1)^2 $$

のときである。したがって，$a_k=m$ となる $k$ の個数は

$$ (m+1)^2-m^2=2m+1 $$

個である。

$1$ から $15$ までについては，

$$ 1^2=1,\qquad 2^2=4,\qquad 3^2=9,\qquad 4^2=16 $$

より，

$$ \begin{aligned} a_1,a_2,a_3&=1,\\ a_4,a_5,a_6,a_7,a_8&=2,\\ a_9,a_{10},\ldots,a_{15}&=3 \end{aligned} $$

である。

したがって，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{15}a_k &=1\cdot 3+2\cdot 5+3\cdot 7\\ &=3+10+21\\ &=34 \end{aligned} $$

である。

よって，

$$ ⑧=34 $$

である。

次に，

$$ 44^2=1936,\qquad 45^2=2025 $$

より，$k=1936$ から $k=2014$ までは $a_k=44$ である。

まず，$m=1$ から $43$ までの完全なまとまりの和は

$$ \sum_{m=1}^{43}m(2m+1) =\sum_{m=1}^{43}(2m^2+m) $$

である。

これを計算すると，

$$ \begin{aligned} \sum_{m=1}^{43}(2m^2+m) &=2\sum_{m=1}^{43}m^2+\sum_{m=1}^{43}m\\ &=2\cdot \frac{43\cdot44\cdot87}{6}+\frac{43\cdot44}{2}\\ &=54868+946\\ &= 55814 \end{aligned} $$

である。

さらに，$1936$ から $2014$ までの個数は

$$ 2014-1936+1=79 $$

個であり，その間はすべて $a_k=44$ である。したがって，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{2014}a_k &=55814+44\cdot79\\ &=55814+3476\\ &=59290 \end{aligned} $$

である。

よって，

$$ ⑨=59290 $$

である。

解説

この問題では，群の個数が $3,5,7,\cdots$ と並ぶことから，第 $n$ 群の最初の数が $n^2$ になる点が中心である。

また，$\lfloor\sqrt{k}\rfloor=m$ となる範囲は

$$ m^2\leq k <(m+1)^2 $$

であるため，$m$ が $2m+1$ 個ずつ現れる。この構造が最初の群分けと同じ形になっていることに気づけば，後半の和も自然に処理できる。

答え

$$ ①=n^2 $$

$$ ②=n^2+2n $$

$$ ③=n(n+1)(2n+1) $$

$$ ④=7 $$

$$ ⑤=44 $$

$$ ⑥=79 $$

$$ ⑦=2 $$

$$ ⑧=34 $$

$$ ⑨=59290 $$