数学B 群数列 問題 8 解説

方針・初手

この数列は、$1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{27}, \ldots$ の各項について、分母が $3^k$ の項 $\dfrac{1}{3^k}$ が $3^k$ 個ずつ並んでいる。

したがって、第何項がどのまとまりに入るかは、個数の累積和

$$ 1+3+3^2+\cdots+3^k $$

を調べればよい。

解法1

$\dfrac{1}{3^k}$ が $3^k$ 個ずつ並ぶので、$\dfrac{1}{3^0}, \dfrac{1}{3^1}, \ldots, \dfrac{1}{3^k}$ までの項数の合計は

$$ 1+3+3^2+\cdots+3^k =\frac{3^{k+1}-1}{2} $$

である。

まず第 $670$ 項を調べる。

$$ \begin{aligned} 1+3+3^2+3^3+3^4+3^5 &=\frac{3^6-1}{2}\\ &=\frac{729-1}{2}\\ &=364 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} 1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6 &=\frac{3^7-1}{2}\\ &=\frac{2187-1}{2}\\ &=1093 \end{aligned} $$

である。よって

$$ 364<670\leqq 1093 $$

だから、第 $670$ 項は $\dfrac{1}{3^6}$ のまとまりに含まれる。

したがって、

$$ \frac{1}{3^6} =\frac{1}{729} $$

である。

次に、初項から第 $2182$ 項までの和を求める。

$k=0$ から $k=6$ までのまとまりはすべて含まれる。その項数は

$$ 1+3+3^2+\cdots+3^6=1093 $$

である。

各まとまりでは、$\dfrac{1}{3^k}$ が $3^k$ 個あるので、そのまとまりの和は

$$ 3^k\cdot \frac{1}{3^k}=1 $$

である。

したがって、$k=0$ から $k=6$ までの $7$ 個のまとまりの和は

$$ 7 $$

である。

残りの項数は

$$ 2182-1093=1089 $$

である。

これらは次のまとまり、すなわち $\dfrac{1}{3^7}$ の項である。よって残りの和は

$$ \begin{aligned} 1089\cdot \frac{1}{3^7} &=\frac{1089}{2187}\\ &=\frac{121}{243} \end{aligned} $$

である。

したがって、初項から第 $2182$ 項までの和は

$$ \begin{aligned} 7+\frac{121}{243} &=\frac{1701+121}{243}\\ &=\frac{1822}{243} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、同じ値が何個並ぶかを「群」として見ることである。$\dfrac{1}{3^k}$ が $3^k$ 個並ぶため、各群の和は常に $1$ になる。

第 $670$ 項のような項番号を調べるときは、群の末項番号

$$ 1+3+3^2+\cdots+3^k $$

を使って、どの群に属するかを判定する。

和を求めるときは、完全に含まれる群の和をまとめて数え、最後に途中まで含まれる群だけを別に加えるとよい。

答え

第 $670$ 項は

$$ \frac{1}{729} $$

である。

したがって、

$$ **(7)** **(8)** **(9)** =729 $$

より、

$$ **(7)** =7,\quad (8)=2,\quad (9)=9 $$

である。

また、初項から第 $2182$ 項までの和は

$$ \frac{1822}{243} $$

である。

したがって、

$$ **(10)** **(11)** **(12)** **(13)** =1822,\qquad (14)(15)(16)=243 $$

より、

$$ **(10)** =1,\quad (11)=8,\quad (12)=2,\quad (13)=2 $$

$$ **(14)** =2,\quad (15)=4,\quad (16)=3 $$