数学B 群数列 問題 9 解説

方針・初手

分母が $1,2,3,\ldots$ と増え、分母が $n$ の部分には

$$ \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} $$

の $n$ 個が並んでいる。したがって、項番号は三角数

$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$

を使って調べる。

解法1

まず、$\dfrac{7}{22}$ が初めて現れる位置を求める。

分母が $22$ の項が始まる前には、分母 $1$ から $21$ までの項が並んでいるので、その個数は

$$ 1+2+\cdots+21=\frac{21\cdot 22}{2}=231 $$

である。

$\dfrac{7}{22}$ は分母 $22$ の列の中で $7$ 番目だから、全体では

$$ 231+7=238 $$

番目である。よって

$$ \boxed{\text{カ}=238} $$

である。

次に、分母が $n$ の部分の和を求める。

$$ \frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{n}{n} =\frac{1+2+\cdots+n}{n} =\frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2} =\frac{n+1}{2} $$

したがって

$$ \frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{n}{n} =\frac{1}{2}(n+1) $$

であるから、

$$ \boxed{\text{キ}=n+1} $$

である。

第 $238$ 項までの和は、分母 $1$ から $21$ までの部分の和と、分母 $22$ のうち $\dfrac{1}{22}$ から $\dfrac{7}{22}$ までの和を足せばよい。

分母 $1$ から $21$ までの和は

$$ \sum_{n=1}^{21}\frac{n+1}{2} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{21}(n+1) =\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{21}n+21\right) $$

である。ここで

$$ \sum_{n=1}^{21}n=\frac{21\cdot 22}{2}=231 $$

より、

$$ \frac{1}{2}(231+21)=126 $$

である。

また、分母 $22$ の最初の $7$ 項の和は

$$ \frac{1}{22}+\frac{2}{22}+\cdots+\frac{7}{22} =\frac{1+2+\cdots+7}{22} =\frac{28}{22} =\frac{14}{11} $$

である。

よって、初項から第 $238$ 項までの和は

$$ 126+\frac{14}{11} =\frac{1386+14}{11} =\frac{1400}{11} $$

である。したがって

$$ \boxed{\text{ク}=\frac{1400}{11}} $$

である。

次に、第 $1000$ 項を求める。

分母 $44$ までに並ぶ項数は

$$ 1+2+\cdots+44=\frac{44\cdot45}{2}=990 $$

である。また、分母 $45$ までに並ぶ項数は

$$ 1+2+\cdots+45=\frac{45\cdot46}{2}=1035 $$

である。

したがって、第 $1000$ 項は分母 $45$ の部分にある。分母 $45$ の部分に入ってから

$$ 1000-990=10 $$

番目の項なので、第 $1000$ 項は

$$ \frac{10}{45} $$

である。これを既約分数にすると

$$ \frac{10}{45}=\frac{2}{9} $$

である。よって

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{2}{9}} $$

である。

最後に、初項から第 $1000$ 項までの中で、$\dfrac{1}{2}$ と等しい数が何回現れるかを求める。

分母 $n$ の部分にある項 $\dfrac{k}{n}$ が $\dfrac{1}{2}$ と等しいためには

$$ \frac{k}{n}=\frac{1}{2} $$

すなわち

$$ 2k=n $$

である必要がある。したがって、$n$ が偶数のときに限り、$k=\dfrac{n}{2}$ として $\dfrac{1}{2}$ が $1$ 回現れる。

第 $1000$ 項までには、分母 $1$ から $44$ までの項がすべて含まれ、さらに分母 $45$ の最初の $10$ 項が含まれる。分母 $45$ は奇数なので、そこには $\dfrac{1}{2}$ は現れない。

したがって、分母 $1$ から $44$ までの偶数の個数を数えればよい。偶数は

$$ 2,4,6,\ldots,44 $$

であり、その個数は

$$ \frac{44}{2}=22 $$

である。よって

$$ \boxed{\text{コ}=22} $$

である。

解説

この数列は、分母ごとに群に分けて考えるのが基本である。分母 $n$ の群には $n$ 個の項があるので、ある項が何番目にあるかは三角数で管理できる。

また、分母 $n$ の群の和は

$$ \frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{n}{n} =\frac{n+1}{2} $$

となるため、途中までの和は「完全に含まれる群の和」と「最後の群の一部の和」に分けると処理しやすい。

$\dfrac{1}{2}$ と等しい項の回数を数える問題では、既約分数として現れているかではなく、値として $\dfrac{1}{2}$ と等しいものを数える。したがって、

$$ \frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\ldots,\frac{22}{44} $$

のように、偶数分母ごとに $1$ 回ずつ現れる点に注意する。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=238} $$

$$ \boxed{\text{キ}=n+1} $$

$$ \boxed{\text{ク}=\frac{1400}{11}} $$

$$ \boxed{\text{ケ}=\frac{2}{9}} $$

$$ \boxed{\text{コ}=22} $$