数学B 数学的帰納法 問題 37 解説

方針・初手

$\alpha,\beta$ は2次方程式 $x^2-3x+5=0$ の解なので、解と係数の関係から

$$ \alpha+\beta=3,\qquad \alpha\beta=5 $$

である。$\alpha^n+\beta^n$ を数列として扱い、漸化式を作って $5$ で割った余りを調べる。

解法1

$a_n=\alpha^n+\beta^n$ とおく。

$\alpha,\beta$ は方程式 $x^2-3x+5=0$ の解であるから、

$$ \alpha^2=3\alpha-5,\qquad \beta^2=3\beta-5 $$

が成り立つ。

$n\geqq 2$ に対して、それぞれに $\alpha^{n-2},\beta^{n-2}$ をかけると、

$$ \alpha^n=3\alpha^{n-1}-5\alpha^{n-2},\qquad \beta^n=3\beta^{n-1}-5\beta^{n-2} $$

である。これらを加えると、

$$ a_n=3a_{n-1}-5a_{n-2} $$

を得る。

ここで

$$ a_0=\alpha^0+\beta^0=2,\qquad a_1=\alpha+\beta=3 $$

であるから、この漸化式によりすべての $a_n$ は整数である。

次に、漸化式を $5$ で割った余りで考えると、

$$ a_n=3a_{n-1}-5a_{n-2}\equiv 3a_{n-1}\pmod{5} $$

である。

$a_1=3$ より、

$$ a_1\equiv 3^1\pmod{5} $$

である。また、$a_k\equiv 3^k\pmod{5}$ とすると、

$$ a_{k+1}\equiv 3a_k\equiv 3\cdot 3^k=3^{k+1}\pmod{5} $$

となる。

したがって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について

$$ a_n\equiv 3^n\pmod{5} $$

が成り立つ。

すなわち

$$ \alpha^n+\beta^n\equiv 3^n\pmod{5} $$

であるから、

$$ \alpha^n+\beta^n-3^n\equiv 0\pmod{5} $$

となる。

よって、$\alpha^n+\beta^n-3^n$ はすべての正の整数 $n$ について $5$ の整数倍である。

解説

この問題では、$\alpha,\beta$ が実数である必要はない。実際、この2次方程式の判別式は負であるが、$\alpha^n+\beta^n$ は対称式なので、解と係数の関係を用いて整数列として扱える。

重要なのは、$\alpha,\beta$ が同じ方程式を満たすことから、$\alpha^n+\beta^n$ に対する漸化式

$$ a_n=3a_{n-1}-5a_{n-2} $$

を作ることである。これを $5$ で割った余りで見ると $-5a_{n-2}$ が消え、単純に

$$ a_n\equiv 3a_{n-1}\pmod{5} $$

となる。これにより $a_n$ の余りが $3^n$ と一致することが分かる。

答え

すべての正の整数 $n$ について、

$$ \alpha^n+\beta^n-3^n\equiv 0\pmod{5} $$

である。したがって、$\alpha^n+\beta^n-3^n$ は $5$ の整数倍である。