数学B 数学的帰納法 問題 47 解説

方針・初手

$(3+i)^n$ を直接計算して虚部の規則を確認する。 その後、$(3+i)^n=a_n+b_ni$ とおき、$a_n,b_n$ の漸化式を作る。虚部 $b_n$ が $10$ で割って $6$ 余ることを示せば、$b_n\neq 0$ が従い、$(3+i)^n$ は実数ではなく虚数であるといえる。

解法1

まず、順に計算する。

$$ (3+i)^2=9+6i+i^2=8+6i $$

したがって、虚部の整数は $6$ であり、$10$ で割った余りは $6$ である。

次に、

$$ (3+i)^3=(8+6i)(3+i) $$

より、

$$ (3+i)^3=24+8i+18i+6i^2=18+26i $$

したがって、虚部の整数は $26$ であり、$10$ で割った余りは $6$ である。

さらに、

$$ (3+i)^4=(18+26i)(3+i) $$

より、

$$ (3+i)^4=54+18i+78i+26i^2=28+96i $$

したがって、虚部の整数は $96$ であり、$10$ で割った余りは $6$ である。

最後に、

$$ (3+i)^5=(28+96i)(3+i) $$

より、

$$ (3+i)^5=84+28i+288i+96i^2=-12+316i $$

したがって、虚部の整数は $316$ であり、$10$ で割った余りは $6$ である。

次に、一般の正の整数 $n$ について考える。 $(3+i)^n$ は整数 $a_n,b_n$ を用いて

$$ (3+i)^n=a_n+b_ni $$

と表せる。このとき、

$$ (3+i)^{n+1}=(a_n+b_ni)(3+i) $$

であるから、

$$ (3+i)^{n+1}=(3a_n-b_n)+(a_n+3b_n)i $$

となる。よって、

$$ a_{n+1}=3a_n-b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+3b_n $$

である。

$n=2$ のとき、

$$ (3+i)^2=8+6i $$

より、

$$ a_2\equiv 8,\qquad b_2\equiv 6 \pmod{10} $$

である。

ここで、ある $n\geqq 2$ に対して

$$ a_n\equiv 8,\qquad b_n\equiv 6 \pmod{10} $$

が成り立つと仮定する。このとき、

$$ a_{n+1}=3a_n-b_n $$

より、

$$ a_{n+1}\equiv 3\cdot 8-6=18\equiv 8 \pmod{10} $$

である。また、

$$ b_{n+1}=a_n+3b_n $$

より、

$$ b_{n+1}\equiv 8+3\cdot 6=26\equiv 6 \pmod{10} $$

である。

したがって、数学的帰納法により、すべての $n\geqq 2$ について

$$ b_n\equiv 6 \pmod{10} $$

が成り立つ。よって $b_n$ は $0$ ではない。

また、$n=1$ のときは

$$ (3+i)^1=3+i $$

であり、虚部の整数は $1$ であるから $0$ ではない。

以上より、すべての正の整数 $n$ について $(3+i)^n$ の虚部は $0$ ではない。したがって、$(3+i)^n$ は実数ではなく虚数である。

解説

この問題では、直接計算した結果から虚部の余りが常に $6$ になりそうだと見ることが重要である。 ただし、単に $n=2,3,4,5$ で成り立つだけでは一般の $n$ についての証明にはならない。

そこで、$(3+i)^n=a_n+b_ni$ とおいて、実部と虚部の漸化式を作る。 実部と虚部をそれぞれ $10$ で割った余りだけで追うと、

$$ (a_n,b_n)\equiv (8,6)\pmod{10} $$

が $n\geqq 2$ で保たれることが分かる。これにより、虚部 $b_n$ が $10$ の倍数にならないこと、特に $0$ でないことが示される。

答え

(1)

$$ (3+i)^2=8+6i $$

虚部の整数は $6$、$10$ で割った余りは $6$ である。

$$ (3+i)^3=18+26i $$

虚部の整数は $26$、$10$ で割った余りは $6$ である。

$$ (3+i)^4=28+96i $$

虚部の整数は $96$、$10$ で割った余りは $6$ である。

$$ (3+i)^5=-12+316i $$

虚部の整数は $316$、$10$ で割った余りは $6$ である。

(2)

すべての正の整数 $n$ について、$(3+i)^n$ の虚部は $0$ ではない。 したがって、$(3+i)^n$ は虚数である。