数学B 数列･確率 問題 10 解説

方針・初手

「1の目が出た回数が奇数である」という条件は、最後の1回で偶奇が反転するかどうかに注目すると扱いやすい。

すなわち、$n$回までで奇数回であったものは、次に1が出なければ奇数のままであり、$n$回までで偶数回であったものは、次に1が出れば奇数になる。この考えから漸化式を作る。

解法1

$n$回投げたとき、1の目が出る回数が奇数である確率を $p_n$ とする。

（1） $p_1,p_2,p_3$ を求める

1回投げるとき、1の目が出る回数が奇数であるのは、1の目が出る場合である。よって

$$ p_1=\frac{1}{6} $$

である。

2回投げるとき、1の目が出る回数が奇数であるのは、1の目がちょうど1回出る場合である。よって

$$ p_2={}_2C_1\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right) =\frac{10}{36} =\frac{5}{18} $$

である。

3回投げるとき、1の目が出る回数が奇数であるのは、1の目が1回または3回出る場合である。よって

$$ \begin{aligned} p_3 &={}_3C_1\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^2 +{}_3C_3\left(\frac{1}{6}\right)^3 \\ &=\frac{75}{216}+\frac{1}{216} \\ &=\frac{76}{216} \\ &=\frac{19}{54} \end{aligned} $$

となる。

（2） 漸化式を示す

$n+1$回投げたときに、1の目が出る回数が奇数である場合を、最初の $n$回までの状態で分ける。

(i)

$n$回までで1の目が奇数回出ている場合

このとき、$n+1$回目に1の目が出なければ、奇数回のままである。その確率は

$$ p_n\cdot \frac{5}{6} $$

である。

(ii)

$n$回までで1の目が偶数回出ている場合

このとき、$n+1$回目に1の目が出れば、奇数回になる。$n$回までで偶数回出ている確率は $1-p_n$ であるから、その確率は

$$ (1-p_n)\cdot \frac{1}{6} $$

である。

以上より、

$$ \begin{aligned} p_{n+1} &=\frac{5}{6}p_n+\frac{1}{6}(1-p_n) \\ &=\frac{5}{6}p_n+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}p_n \\ &=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6} \end{aligned} $$

したがって、

$$ p_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6} $$

が成り立つ。

（3） $p_n$ を求める

漸化式

$$ p_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6} $$

を解く。

まず、この漸化式の定数解を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=\frac{2}{3}\alpha+\frac{1}{6} $$

より、

$$ \frac{1}{3}\alpha=\frac{1}{6} $$

したがって、

$$ \alpha=\frac{1}{2} $$

である。

よって、漸化式から

$$ p_{n+1}-\frac{1}{2} =\frac{2}{3}\left(p_n-\frac{1}{2}\right) $$

が成り立つ。

したがって、数列 $\left\{p_n-\frac{1}{2}\right\}$ は公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。$p_1=\frac{1}{6}$ より、

$$ p_1-\frac{1}{2} =\frac{1}{6}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{3} $$

であるから、

$$ p_n-\frac{1}{2} =-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} $$

となる。

よって、

$$ p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} $$

である。さらに整理すると、

$$ \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n $$

だから、

$$ p_n=\frac{1}{2}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} $$

となる。

解法2

1の目が出る回数を $k$ とすると、$k$ は二項分布に従う。すなわち、1の目がちょうど $k$ 回出る確率は

$$ {}_nC_k\left(\frac{1}{6}\right)^k\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k} $$

である。

求める確率は $k$ が奇数である確率なので、

$$ p_n=\sum_{\substack{0\leq k\leq n\ k\text{ は奇数}}} {}_nC_k\left(\frac{1}{6}\right)^k\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k} $$

である。

ここで、二項定理より

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\right)^n &= \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k\left(\frac{1}{6}\right)^k\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k} =1 \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\right)^n &= \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k\left(-\frac{1}{6}\right)^k\left(\frac{5}{6}\right)^{n-k} &= \left(\frac{2}{3}\right)^n \end{aligned} $$

である。

この2つの式を比べると、前者は偶数回の場合と奇数回の場合の確率の和であり、後者は偶数回の場合の確率から奇数回の場合の確率を引いたものである。

偶数回である確率を $q_n$ とすると、

$$ q_n+p_n=1 $$

かつ

$$ q_n-p_n=\left(\frac{2}{3}\right)^n $$

である。

2式を引くと、

$$ 2p_n=1-\left(\frac{2}{3}\right)^n $$

したがって、

$$ p_n=\frac{1}{2}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} $$

である。

解説

この問題では、奇数回・偶数回という条件を直接数え上げることもできるが、漸化式を立てる方が自然である。

重要なのは、$n+1$回目に1が出ると偶奇が反転し、1が出なければ偶奇が変わらないという点である。この視点を使うと、$p_{n+1}$ を $p_n$ で表すことができる。

また、漸化式

$$ p_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6} $$

はそのままでは等比数列ではないので、定数解 $\frac{1}{2}$ を引いて

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{2} &= \frac{2}{3}\left(p_n-\frac{1}{2}\right) \end{aligned} $$

の形に直すのが標準的な処理である。

答え

(1)

$$ p_1=\frac{1}{6},\qquad p_2=\frac{5}{18},\qquad p_3=\frac{19}{54} $$

(2)

$$ p_{n+1}=\frac{2}{3}p_n+\frac{1}{6} $$

(3)

$$ p_n=\frac{1}{2}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\} $$