数学B 数列･確率 問題 11 解説

方針・初手

$Y_n$ が $7$ で割り切れるかどうかは、$Y_{n-1}$ を $7$ で割った余りと、最後に出る目 $X_n$ によって決まる。

さいころの目は $1,2,\ldots,6$ であり、$0$ は出ない。このため、$Y_{n-1}$ がすでに $7$ の倍数である場合、最後の1回で再び $7$ の倍数にすることはできない。一方、$Y_{n-1}$ が $7$ の倍数でない場合は、ちょうど1つだけ適切な目が存在する。

解法1

$Y_{n-1}$ を $7$ で割った余りを考える。

まず、$Y_{n-1}$ が $7$ で割り切れる場合、すなわち余りが $0$ の場合を考える。このとき

$$ Y_n=Y_{n-1}+X_n $$

であり、$X_n$ は $1,2,\ldots,6$ のいずれかであるから、$Y_n$ を $7$ で割った余りは $1,2,\ldots,6$ のいずれかになる。したがって、この場合に $Y_n$ が $7$ で割り切れる確率は $0$ である。

次に、$Y_{n-1}$ が $7$ で割り切れない場合を考える。$Y_{n-1}$ を $7$ で割った余りを $r$ とすると、$r=1,2,\ldots,6$ である。

$Y_n$ が $7$ で割り切れるためには

$$ r+X_n \equiv 0 \pmod 7 $$

となればよい。ここで $r$ が $1,2,\ldots,6$ のいずれであっても、$X_n$ として取り得る $1,2,\ldots,6$ の中に、この合同式を満たす値がちょうど1つ存在する。

したがって、$Y_{n-1}$ が $7$ で割り切れないという条件のもとで、$Y_n$ が $7$ で割り切れる確率は

$$ \frac{1}{6} $$

である。

よって、全確率の公式より

$$ \begin{aligned} p_n &= 0\cdot p_{n-1} + \frac{1}{6}(1-p_{n-1}) \end{aligned} $$

である。したがって

$$ p_n=\frac{1-p_{n-1}}{6} $$

を得る。

次に、この漸化式を解く。

$$ p_n=\frac{1}{6}-\frac{1}{6}p_{n-1} $$

である。この漸化式の定数解を $p_n=\alpha$ とおくと、

$$ \alpha=\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\alpha $$

より

$$ 7\alpha=1 $$

となるから、

$$ \alpha=\frac{1}{7} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{7} &= -\frac{1}{6}\left(p_{n-1}-\frac{1}{7}\right) \end{aligned} $$

となる。

また、$n=1$ のとき、さいころの目は $1,2,\ldots,6$ のいずれかであり、$7$ で割り切れることはないので

$$ p_1=0 $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{7} &= \left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} \left(p_1-\frac{1}{7}\right) \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} p_n-\frac{1}{7} &= \left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} \left(-\frac{1}{7}\right) \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1}{7} \\ \frac{1}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1} \end{aligned} $$

である。

すなわち

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{1-\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}}{7} \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、和そのものではなく、$7$ で割った余りだけを追うことである。

さいころの目が $1$ から $6$ までであり、$7$ を法として見ると $0$ 以外のすべての余りを取り得る。このため、直前の余りが $0$ なら次に $0$ へ戻ることはできず、直前の余りが $0$ でなければ、$0$ へ戻す目がちょうど1つある。

この構造により、$p_n$ は $p_{n-1}$ だけで表せる。余りごとの確率分布をすべて求める必要はない。

答え

(1)

$$ p_n=\frac{1-p_{n-1}}{6} $$

(2)

$$ p_n= \frac{1-\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}}{7} $$